rozkład normalny

[Juan_Miguel]

Cześć.

Błagam, niech ktoś wyprowadzi wzór na \(\displaystyle{ \EE( X^{2})}\) dla rozkładu normalnego. Gdy rozwiązuję to, to dochodzę do pewnego miejsca i się zacinam.
Dodatkowo jakby ktoś mógł wyprowadzić wzór na medianę dla tegoż rozkładu to byłoby super.

Pzdr

[miodzio1988]

Problem to? Jaką całkę musisz policzyć?

[Juan_Miguel]

jak liczę \(\displaystyle{ E( X^{2})}\), to robię podstawienie takie: \(\displaystyle{ \frac{x-\mu}{ \sqrt{2} \sigma} = t}\) i dalej dochodzę do miejsca, gdzie jest \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{+ \infty } t^{2} e^{- t^{2} } dt}\) i tu wychodzą mi głupoty...

-- 15 lut 2013, o 19:10 --

Licze tak:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } \int_{- \infty}^{+ \infty } x^{2} e^{ -\left( \frac{x-\mu}{ \sqrt{2}\sigma } \right) ^{2} }dx}\)

dalej podstawienie jak pisałem wcześniej. Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{\pi} } \int_{- \infty }^{+ \infty } \left( t \sqrt{2}\sigma + \mu \right) ^{2} e^{- t^{2} } dt =}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{\pi} } \int_{- \infty }^{+ \infty }\left( 2 t^{2} \sigma^{2}+2 \sqrt{2} t \sigma \mu + \mu ^{2} \right) e^{- t^{2} } dt =}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{\pi} } \left( \int_{- \infty }^{+ \infty } 2 t^{2} \sigma^{2} e^{- t^{2} } + \int_{- \infty }^{+ \infty } 2 \sqrt{2} t\mu \sigma e^{- t^{2} } + \int_{- \infty }^{+ \infty } \mu^{2} e^{- t^{2} } dt \right)}\)

druga całka się zeruje trzecia wynosi \(\displaystyle{ \mu^{2}}\) , mi zaś chodzi o ta pierwsza, tu się zacinam i wychodzą mi głupoty. próbowałem też rozwiązać to na wolframie , ale niewiele mi to dało. Wiem, że musi wyjść z niej \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{\pi} }{2}}\) , ale właśnie nie wychodzi, także jakby ktoś mógł tą całeczkę rozpisać to byłbym wdzięczny.