Proszę o sprawdzenie rozwiązania.
Na poziomie ufności \(\displaystyle{ 0.9}\) wyznaczono na podstawie \(\displaystyle{ 17}\)-to elementowej próby przedział ufności dla wartości oczekiwanej: \(\displaystyle{ 7.644 < E \left( X \right) < 8.760}\) . Znajdź estymator punktowy dla wartości oczekiwanej i przedział ufności dla wartości oczekiwanej na poziomie ufności \(\displaystyle{ 0.98}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\overline{x} - \frac{1}{ \sqrt{17} } \cdot S \left( X \right) \cdot t \left( \frac{1 + 0.9}{2} \right) = 7.644
\\
\overline{x} + \frac{1}{ \sqrt{17} } \cdot S \left( X \right) \cdot t \left( \frac{1 + 0.9}{2} \right) = 8.760
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ t_1 \left( \frac{1 + 0.9}{2} \right) = t \left( 0.95 \right)}\) - odczytuje z tablic rozkładu T-Studenta
Teraz dodaje obydwa równania i otrzymuje:
\(\displaystyle{ 2\overline{x} = 7.644 + 8.760 / \cdot \frac{1}{2} \\
\overline{x} = 8.202}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}
8.202 - \frac{1}{ \sqrt{17} } \cdot S \left( X \right) \cdot t \left( 0.95 \right) = 7.644
\\
8.202 + \frac{1}{ \sqrt{17} } \cdot S \left( X \right) \cdot t \left( 0.95 \right) = 8.760
\end{cases}}\)
Odejmuje te równania i otrzymuje:
\(\displaystyle{ -\frac{2}{ \sqrt{17} } \cdot S \left( X \right) \cdot t \left( 0.95 \right) = -1.116 / \cdot -\frac{1}{2} \\
\frac{1}{ \sqrt{17} } \cdot S \left( X \right) \cdot t \left( 0.95 \right) = 0.558}\)
Przekształcając wychodzi:
\(\displaystyle{ S \left( X \right) = \frac{0.558 \sqrt{17} }{t \left( 0.95 \right) }}\)
Szukanym estymatorem punktowym\(\displaystyle{ E \left( X \right)}\) jest nasze \(\displaystyle{ \overline{x} = 8.202}\)
Przechodzimy do poszukiwania przedziału ufności dla wartości oczekiwanej na poziomie ufności \(\displaystyle{ 0.98}\):
\(\displaystyle{ t_2 \left( \frac{1 + 0.98}{2} \right) = t \left( 0.99 \right)}\) - odczytuje z tablic rozkładu T-Studenta
\(\displaystyle{ T_L = 8.202 - \frac{1}{ \sqrt{17} } \cdot \frac{0.558 \sqrt{17} }{t \left( 0.95 \right) } \cdot t \left( 0.99 \right)}\)
\(\displaystyle{ T_P = 8.202 + \frac{1}{ \sqrt{17} } \cdot \frac{0.558 \sqrt{17} }{t \left( 0.95 \right) } \cdot t \left( 0.99 \right)}\)
Wobec czego naszym przedziałem ufności dla wartości oczekiwanej na poziomie ufności \(\displaystyle{ 0.98}\) jest:
\(\displaystyle{ T_L < E \left( X \right) < T_P}\)
Czy to jest poprawne rozwiązanie? Z góry dziękuje za sprawdzenie, bo troszkę po omacku to rozwiązuje.