Witam.
Proszę o wskazówki jak ruszyć to zadanie.
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) przyjmuje wartości ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 2, 4, 6 \right\}}\) a zmienna losowa \(\displaystyle{ Y}\) przyjmuje wartości ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ -1, 1 \right\}}\). Łączne prawdopodobieństwo dla zmiennych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) dane jest wzorem \(\displaystyle{ P_{X,Y} (x,y) = C(x+y)}\). Znaleźć:
a) wartość stałej \(\displaystyle{ C}\)
b) wartości oczekiwane \(\displaystyle{ E(X)}\) i \(\displaystyle{ E(Y)}\)
c) kowariancję zmiennych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\)
O ile gdy funkcja była ograniczona na jakimś odcinku to obliczenie stałej C było dosyć proste, o tyle tutaj funkcja przyjmuje 2 lub 3 wartości. Jak się do tego zabrać?
Z góry dziękuje za pomoc.
Prawdopodobieństwo łączne dla dwóch zmiennych losowych.
- Nakahed90
- Użytkownik
- Posty: 9096
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 1871 razy
Prawdopodobieństwo łączne dla dwóch zmiennych losowych.
Ile wynosi suma wszystkich prawdopodobieństw?
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 15 maja 2010, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brzesko
- Podziękował: 5 razy
Prawdopodobieństwo łączne dla dwóch zmiennych losowych.
Suma wynosi 1.
\(\displaystyle{ C(2-1) + C(2+1) + C(4-1) + C(4+1) + C(6-1) + C(6+1) = 1}\)
\(\displaystyle{ C+3C+3C+5C+5C+7C = 1}\)
\(\displaystyle{ 24C = 1 \Rightarrow C = \frac{1}{24}}\)
\(\displaystyle{ P(X,Y) = \begin{cases}
\frac{(2+1)}{24} = \frac{3}{24} \ dla \ (2,1) \\
\frac{(2-1)}{24} = \frac{1}{24} \ dla \ (2,-1) \\
\frac{(4+1)}{24} = \frac{5}{24} \ dla \ (4,1) \\
\frac{(4-1)}{24} = \frac{3}{24} \ dla \ (4,-1) \\
\frac{(6+1)}{24} = \frac{7}{24} \ dla \ (6,1) \\
\frac{(6-1)}{24} = \frac{5}{24} \ dla \ (6,-1) \\
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ P(X) = \begin{cases}
\frac{4}{24} \ dla \ 2 \\
\frac{8}{24} \ dla \ 4 \\
\frac{12}{24} \ dla \ 6 \\
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ P(Y) = \begin{cases}
\frac{9}{24} \ dla \ 1 \\
\frac{15}{24} \ dla \ -1 \\
\end{cases}}\)
EDIT:
Czy obliczenie E(X) i E(Y) to po prostu obliczenie całki odpowiednio "po X" i "po Y"? Jakie przedziały dobrać? A może w jakiś inny sposób?
EDIT2:
\(\displaystyle{ E(X) = 2 \cdot \frac{4}{24} + 4 \cdot \frac{8}{24} + 6 \cdot \frac{12}{24} = \frac{8}{24} + \frac{32}{24} + \frac{72}{24} = \frac{104}{24} = 4 \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ E(Y) = 1 \cdot \frac{9}{24} + (-1) \cdot \frac{15}{24} = \frac{9}{24} - \frac{15}{24} = - \frac{6}{24} = - \frac{1}{4}}\)
-- 9 lut 2013, o 18:28 --
Jak wyliczyć E(XY) w tym przypadku? Wystarczy tylko wskazówka, z resztą POWINIENEM sobie poradzić .-- 10 lut 2013, o 12:04 --\(\displaystyle{ E(XY) = 2 \cdot 1 \cdot \frac{3}{24} + 2 \cdot -1 \cdot \frac{1}{24} + 4 \cdot 1 \cdot \frac{5}{24} + 4 \cdot -1 \cdot \frac{3}{24} + 6 \cdot 1 \cdot \frac{7}{24} + 6 \cdot -1 \cdot \frac{5}{24} = \frac{6}{24} - \frac{2}{24} + \frac{20}{24} - \frac{12}{24} + \frac{42}{24} - \frac{30}{24} = \frac{24}{24} = 1}\)
i teraz:
\(\displaystyle{ cov(XY) = E(XY) - E(X) \cdot E(Y) = 1 - 4 \frac{1}{3} \cdot (-\frac{1}{4} ) = 1 - (- \frac{13}{12} ) = 1 + \frac{13}{12} = 2 \frac{1}{12}}\)
\(\displaystyle{ C(2-1) + C(2+1) + C(4-1) + C(4+1) + C(6-1) + C(6+1) = 1}\)
\(\displaystyle{ C+3C+3C+5C+5C+7C = 1}\)
\(\displaystyle{ 24C = 1 \Rightarrow C = \frac{1}{24}}\)
\(\displaystyle{ P(X,Y) = \begin{cases}
\frac{(2+1)}{24} = \frac{3}{24} \ dla \ (2,1) \\
\frac{(2-1)}{24} = \frac{1}{24} \ dla \ (2,-1) \\
\frac{(4+1)}{24} = \frac{5}{24} \ dla \ (4,1) \\
\frac{(4-1)}{24} = \frac{3}{24} \ dla \ (4,-1) \\
\frac{(6+1)}{24} = \frac{7}{24} \ dla \ (6,1) \\
\frac{(6-1)}{24} = \frac{5}{24} \ dla \ (6,-1) \\
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ P(X) = \begin{cases}
\frac{4}{24} \ dla \ 2 \\
\frac{8}{24} \ dla \ 4 \\
\frac{12}{24} \ dla \ 6 \\
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ P(Y) = \begin{cases}
\frac{9}{24} \ dla \ 1 \\
\frac{15}{24} \ dla \ -1 \\
\end{cases}}\)
EDIT:
Czy obliczenie E(X) i E(Y) to po prostu obliczenie całki odpowiednio "po X" i "po Y"? Jakie przedziały dobrać? A może w jakiś inny sposób?
EDIT2:
\(\displaystyle{ E(X) = 2 \cdot \frac{4}{24} + 4 \cdot \frac{8}{24} + 6 \cdot \frac{12}{24} = \frac{8}{24} + \frac{32}{24} + \frac{72}{24} = \frac{104}{24} = 4 \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ E(Y) = 1 \cdot \frac{9}{24} + (-1) \cdot \frac{15}{24} = \frac{9}{24} - \frac{15}{24} = - \frac{6}{24} = - \frac{1}{4}}\)
-- 9 lut 2013, o 18:28 --
Jak wyliczyć E(XY) w tym przypadku? Wystarczy tylko wskazówka, z resztą POWINIENEM sobie poradzić .-- 10 lut 2013, o 12:04 --\(\displaystyle{ E(XY) = 2 \cdot 1 \cdot \frac{3}{24} + 2 \cdot -1 \cdot \frac{1}{24} + 4 \cdot 1 \cdot \frac{5}{24} + 4 \cdot -1 \cdot \frac{3}{24} + 6 \cdot 1 \cdot \frac{7}{24} + 6 \cdot -1 \cdot \frac{5}{24} = \frac{6}{24} - \frac{2}{24} + \frac{20}{24} - \frac{12}{24} + \frac{42}{24} - \frac{30}{24} = \frac{24}{24} = 1}\)
i teraz:
\(\displaystyle{ cov(XY) = E(XY) - E(X) \cdot E(Y) = 1 - 4 \frac{1}{3} \cdot (-\frac{1}{4} ) = 1 - (- \frac{13}{12} ) = 1 + \frac{13}{12} = 2 \frac{1}{12}}\)