Badanie hipotez

[AsiR]

1. Z populacji , w której badana cecha ma rozkład normalny ze znanym odchyleniem standardowym równym 4 wylosowano próbkę złożoną z 9 obserwacji. Na poziomie istotności 0.05 zweryfikuj hipotezę
H0 : m = 2 przy alternatywie H1: m > 2 jeśli średnia z próbki wynosi 1.4
\(\displaystyle{ n=9\\
m=2\\
\sigma = 4\\
\overline{x} = 1.4\\
W _{0} = [- \infty ;-1.96] \cup [1.96; \infty ]\\
W _{1} = [2.58; \infty ]\\
U = \frac{1.4 - 2}{4} \cdot \sqrt{9} = -0,45 \neq m\\}\)
Wg. mnie nie spełnia to ani H0 ani H1 ale nie jestem pewien rozwiązania, mógłby ktoś sprawdzić?

[chris_f]

Nie możesz stosować statystyki z rozkładem normalnym. Liczebność próbki jest zbyt mała. Poszukaj w notatkach jak w takim przypadku wyznacza się zbiór krytyczny (jakiej statystyki testowej używasz).
Następna sprawa:
przy weryfikacji hipotezy dostajesz zawsze jedną z odpowiedzi:
- nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
- odrzucamy hipotezę zerową i przyjmujemy hipotezę alternatywną
Nigdy nie możesz otrzymać sytuacji, że ani \(\displaystyle{ H_0}\) ani \(\displaystyle{ H_1}\) nie zachodzą na danym poziomie istotności.
Napisz do jakich wniosków doszłaś, bo wszystkie dane masz podane na talerzu, sformułowanie hipotez, obliczone \(\displaystyle{ m,\delta,\bar x}\), nic tylko zastosować prawidłowy model.

[AsiR]

Hmm, szczerze to jakiej innej statystyki miałbym użyć? t-Studenta? Ale mam podane odchylenie. Jest jeszcze ta dla dowolnego rozkładu ale liczebność próbki jest za mała. Od jakiej liczebności próbki jest ta statystyka której użyłem?

[chris_f]

Przybliżenia statystyki rozkładem normalnym używa się (zależy to od rodzaju hipotezy) najczęściej gdy \(\displaystyle{ n\ge30}\), a w przypadku hipotez dotyczących np. frakcji (odsetka) to nawet ponad 100.
W Twoim przykładzie powinnaś zastosować statystykę testową Studenta o 8 stopniach swobody.
Zresztą te liczebności (jak i wiele innych rzeczy w statystyce są umowne).

Zajrzyj zresztą np. do "Sobczak M., Statystyka. Podstawy teoretyczne. Przykłady. Zadania." albo do publikacji w necie:

Zawsze tam będziesz mieć, że rodzaj statystyki testowej (a co za tym idzie zbiór krytyczny) zależy od liczebności próby. Ty weryfikujesz hipotezę o jednej wartości średniej, a nawet przy weryfikacji hipotezy o dwóch wartościach średnich rodzaj statystyki testowej jest uzależniony od tej liczności.

Wszystko ładnie zapisałaś, policzyłaś wartość statystyki testowej, tylko, że nie tej, której należało użyć, a co za tym idzie nie tak jak należy sformułowałaś zbiór krytyczny. To jest drobiazg, wystarczy przeliczyć nową statystykę testową i masz zbiór krytyczny.

Ale jak już masz to wszystko, to musisz udzielić odpowiedzi:

- albo nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
- albo odrzucamy hipotezę zerową i przyjmujemy alternatywną

Tertium non datur - albo, albo. Pamiętaj jedynie o tym, żeby pod żadnym pozorem nie pisać, że przyjmujesz hipotezę zerową - Ty co najwyżej możesz stwierdzić, że nie ma podstaw do jej odrzucenia.

[AsiR]

Do t-Studenta brakuje mi policzonego:
\(\displaystyle{ S ^{2} =1/n \cdot\sum_{n}^{i=0} (\overline{x} - x_{i}) ^{2}}\)
Do tego po dłuższym przyjrzeniu się zadaniu wyszło, że jednak H0
jest poprawne bo -0.45 nie mieści się w obszarze krytycznym czyli nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy.
\(\displaystyle{ W _{0} = [- \infty ;-1.96] \cup [1.96; \infty ]\\
U = \frac{1.4 - 2}{4} \cdot \sqrt{9} = -0,45 \in [-1.96;1.96]\\}\)

[chris_f]

Ale nie o to chodzi, czy Twoja wyliczona wartość \(\displaystyle{ U}\) należy, czy nie do zbioru krytycznego, tylko o to, że ty liczysz w błędny sposób statystykę testową.

Nie wiem czy wyjdzie inaczej (bo nie liczyłem, w końcu to nie moje zadanie), tzn. czy trzeba będzie odrzucić \(\displaystyle{ H_0}\) czy nie (bo weryfikacja może wyjść taka sama), tylko o to, że policzyłaś to nieprawidłowo.

Weryfikacja hipotez rządzi się swoimi prawami: robiąc wszystko błędnie możesz udzielić prawidłowej odpowiedzi - tzn. stwierdzisz np., że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Ale możesz się pomylić.

Tyle, że wtedy, postępując nieprawidłowo może dojść do sytuacji, gdy np. nie odrzucisz nieprawdziwej hipotezy zerowej (wskutek Twoich błędnych obliczeń).

A gdyby ta hipoteza mówiła:
\(\displaystyle{ H_0}\) - nowy rodzaj leku nie wykazuje szkodliwych działań
albo
\(\displaystyle{ H_0}\) - prawdopodobieństwo zawalenia się budynku jest mniejsze od 0,01%

Te wszystkie statystyczne pierdoły są (i będą) wykorzystywane w życiowych sytuacjach, nie chodzi tu tylko o zdanie/nie zdanie egzaminu.

[AsiR]

Wg. mnie nie spełnia to ani H0 ani H1 ale nie jestem pewien rozwiązania, mógłby ktoś sprawdzić?

Od jakiej liczebności próbki jest ta statystyka której użyłem?

Hmm, szczerze to jakiej innej statystyki miałbym użyć?

Napisz do jakich wniosków doszłaś,

W Twoim przykładzie powinnaś zastosować statystykę testową Studenta o 8 stopniach swobody.

Wszystko ładnie zapisałaś, policzyłaś wartość statystyki testowej

że policzyłaś to nieprawidłowo.

Przeczytałeś chociaż moje posty bo cały czas używasz formy żeńskiej kiedy ja uparcie męskiej(czemu? nie wiem)
Do rozkładu t-Studenta potrzebne mi jest \(\displaystyle{ S^{2}}\) którego tu nie policzę ze wzorów które mam bo nie mam \(\displaystyle{ x _{i}}\). Tak zajrzałem do notatek. Z moich notatek wynika, że jest to jedyny model którego mogę użyć. Nie widzę sensu przerzucania się postami. Nie wiem jakiego modelu użyć a tym bardziej jak go użyć. Ktoś może pomóc? Podać wzór? Metodę rozwiązania? Rozwiązanie?

[chris_f]

Przepraszam że użyłem formy żeńskiej czasowników.
Nie wiem sam dlaczego.
Jeszcze raz przepraszam.

A teraz pomijając te wypowiedzi dotyczące rodzaju.
Stwierdziłeś, że
Wg. mnie nie spełnia to ani H0 ani H1
Myślę, że jasno się wyraziłem na ten temat albo - albo.

Hmm, szczerze to jakiej innej statystyki miałbym użyć?
Napisałem, że przy tej liczebności próby, nie możesz użyć statystyki opartej na rozkładzie normalnym, tylko musisz użyć statystyki z rozkładem Studenta.

Z moich notatek wynika, że jest to jedyny model którego mogę użyć.
Wybacz, mogę to skomentować jedynie w taki sposób:
- albo masz niekompletne i niechlujne notatki
- albo na wykładach nie wszystko jest omawiane (co jest całkowicie normalną rzeczą) i jesteście kierowani do literatury (myślę, że to jest najbardziej prawdopodobne)
- albo wykładowca zapomina o elementarnych rzeczach (w co akurat nie wierzę).

Jeżeli nie wierzysz to proszę:
- Sobczyk Mirosław, Statystyka. Teoria. Przykłady. Zadania., UMCS Lublin, 2000, s. 180-183.
- Krysicki W., Bartos J., ..., Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. cz. II. Statystyka matematyczna, Wydawnictwa Naukowe PWN, 2002, s. 85-88.
- slajdy: 12-13
- ... &Itemid=38

Przepraszam, że się wtrąciłem do tego tematu, jeszcze raz przepraszam za niewłaściwą formę.

Być może inaczej ja rozumiem sformułowania z Twojego zadania, inaczej mieliście to wprowadzane na wykładzie, nie ma sprawy. Trzeba było to jasno powiedzieć - u nas na wykładzie liczność próby nie ma znaczenia i zawsze używamy statystyki z rozkładem normalnym.

Mnie uczono nieco inaczej:
w przypadku, gdy liczność próby jest niewielka, to rozróżnia się (czasami - to zależy od autorów) sytuacje, gdy odchylenie jest znane (podane), czy wyliczone z próbki.
Różnica polega na tym, czy estymator odchylenia jest obciążony, czy nie, co sprowadza się do pojawienia się we wzorze statystyki testowej albo \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) albo \(\displaystyle{ \sqrt{n-1}}\).

Ale to już nie moja działka i nie mój problem.