Witam, mam prośbę o pomoc jak to policzyć:
\(\displaystyle{ P _{\theta}( \sqrt{\alpha} \le \theta \le 2- \sqrt{\alpha})}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le 1}\)
gdy mam gęstość w postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \ dla \ 0<x<1\\2-x \ dla \ 1 \le x<2 \\ 0 \ wpp \end{cases}}\)
Gęstość łączna
-
acmilan
- Użytkownik
- Posty: 402
- Rejestracja: 27 kwie 2009, o 15:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa-Praga
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 50 razy
Gęstość łączna
Najpierw musisz obliczyć dystrybuantę:
\(\displaystyle{ F(x)=\begin{cases} 0 \ gdy \ x \le 0 \\ \frac{1}{2}x^{2} \ gdy \ 0 < x \le 1 \\ 2x-\frac{1}{2}x^{2}-1 \ gdy \ 1 \le x \le 2 \\ 1 \ gdy \ x \ge 2 \end{cases}}\)
I teraz z tego korzystasz:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(\sqrt{\alpha} \le \theta \le 2-\sqrt{\alpha}})=\mathbb{P}(\theta \le 2-\sqrt{\alpha}})-\mathbb{P}(\theta \le \sqrt{\alpha}) = 2\cdot(2-\sqrt{\alpha}})-\frac{1}{2}(2-\sqrt{\alpha})^{2}-1-\frac{1}{2}\alpha=1-\alpha}\)
\(\displaystyle{ F(x)=\begin{cases} 0 \ gdy \ x \le 0 \\ \frac{1}{2}x^{2} \ gdy \ 0 < x \le 1 \\ 2x-\frac{1}{2}x^{2}-1 \ gdy \ 1 \le x \le 2 \\ 1 \ gdy \ x \ge 2 \end{cases}}\)
I teraz z tego korzystasz:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(\sqrt{\alpha} \le \theta \le 2-\sqrt{\alpha}})=\mathbb{P}(\theta \le 2-\sqrt{\alpha}})-\mathbb{P}(\theta \le \sqrt{\alpha}) = 2\cdot(2-\sqrt{\alpha}})-\frac{1}{2}(2-\sqrt{\alpha})^{2}-1-\frac{1}{2}\alpha=1-\alpha}\)