Przedział ufności dla różnicy średnich populacji

[frustek]

Występujące w układach scalonych klasyczne tranzystory domieszkowane złotem mają tzw. czas magazynowania ładunku rzędu 7ns. Producent chce sprawdzić, czy jego produkty mają tę własność na pożądanym poziomie. W tym celu zlecił pomiary do dwóch laboratoriów na 76 w każdym z nich. Otrzymał raport z informacją o średnich czasach \(\displaystyle{ \overline{x_{1} } = 6.5 ns \ \overline{x_{2} } =7,3 ns}\) i wariancji pomiarów \(\displaystyle{ \sigma_{1}^2=0,59, \ \sigma_{2}^2=0,25}\). Wyznaczyć przedział ufności \(\displaystyle{ 1- \alpha =0,025\kappa+0,9}\) dla średniej \(\displaystyle{ \mu}\) wykorzystując wyniki pomiarów z obu laboratoriów.

Rozważ dla trzech przypadków :
\(\displaystyle{ \kappa = 0 , \kappa = 1 , \kappa = 2}\)
Odpowiedzi
a) (6,8205; 6,9795)
b) (6,7895; 7,0105)
c) (6,7784; 7,0216)
d) (6,798; 7,002)
e) Żadna z powyższych

Nie mam pojęcia w ogóle jak się za to zabrać.
Proszę o jakieś podpowiedzi...

[chris_f]

Przedział ufności dla średniej, przy dużej (\(\displaystyle{ n>30}\) liczbie elementów w próbie wyraża się wzorem
\(\displaystyle{ \left(\bar x-z_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}},\bar x+z_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}}\right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ \bar x}\) to obliczona średnia \(\displaystyle{ s}\) - odchylenie standardowe z próby, a \(\displaystyle{ z_{\alpha}}\) jest wartością odczytaną z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego \(\displaystyle{ N(0,1)}\).
Dla przykładu dla pierwszego laboratorium i wartości \(\displaystyle{ k=2}\) mamy:
\(\displaystyle{ 1-\alpha=0,025\cdot2+0,9}\)
\(\displaystyle{ 1-\alpha=0,95}\)
\(\displaystyle{ \alpha=0,05}\)
i z tablic odczytujemy \(\displaystyle{ z_{0,05}=1,96}\)
Podobnie obliczając, dla \(\displaystyle{ k=1}\) wyjdzie nam \(\displaystyle{ z_{0,075}}\) i dla \(\displaystyle{ k=0}\) mamy \(\displaystyle{ z_{0,1}=1,66}\)

Podstawiamy to do wzoru i dostaniemy:
dla \(\displaystyle{ k=2}\)
\(\displaystyle{ \left(6,5-1,96\frac{\sqrt{0,59}}{\sqrt{76}},6,5+1,96\frac{\sqrt{0,59}}{\sqrt{76}}\right)}\)
czyli przedział ufności
\(\displaystyle{ (-6,3273,6,6727)}\)
Analogiczne obliczenia robisz dl pozostałych wartości \(\displaystyle{ k}\) (zmieni się tylko \(\displaystyle{ z_\alpha}}\)).
Podobnie robisz dla laboratorium drugiego (tu zmienią się \(\displaystyle{ \bar x,\ {\rm i}\ s}\).

[szw1710]

chris_f, a według jakiego wzoru liczysz odchylenie standardowe \(\displaystyle{ s}\)? Czy wariancję dzielisz przez \(\displaystyle{ n}\) czy przez \(\displaystyle{ n-1}\)? Mam zastrzeżenia do podanego wzoru na końce przedziału ufności. A konkretnie do tego czy w mianowniku ma być \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) czy \(\displaystyle{ \sqrt{n-1}}\). Reszta OK.

[frustek]

a jeszcze jedna sprawa

W odpowiedzi jest jeden przedział a w tym rozwiązaniu otrzymuję 2 przedziały.
Jak mogę uzyskać jeden przedział ?

[chris_f]

Używam wzoru, w którym \(\displaystyle{ S}\) jest obciążonym estymatorem \(\displaystyle{ \delta}\).
W przybliżeniu \(\displaystyle{ \frac{\delta}{\sqrt{n}}\approx\frac{S}{\sqrt{n}}}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) jest odpowiednio duże. Przypuszczam, że wynik \(\displaystyle{ \delta^2}\) podany w zadaniu tak naprawdę jest równy \(\displaystyle{ S^2}\) (bo laboratorium jakoś ten współczynnik liczyło, a czy dzielili tam przez \(\displaystyle{ n}\) czy przez \(\displaystyle{ n-1}\) - tego nie wiadomo.)


@frustek: Dla każdego z laboratoriów powinieneś otrzymać trzy wyniki: dla \(\displaystyle{ k=0,1,2}\), czyli łącznie 6 przedziałów. I teraz patrzysz, czy w którymś z przypadków (na danym poziomie istotności i w którymś z laboratoriów) otrzymano któryś z wyników w laboratorium.

Gdyby liczba elementów była mała, użyłbym wzoru ze statystyką t Studenta.

Zresztą oparłem się o podręcznik Sobczyka (bo ten miałem pod ręką), jeżeli na wykładzie był inny wzór, to oczywiście ten należy zastosować.

[szw1710]

chris_f, więc podajesz dobry wzór. Czasem estymator obciążony (dzielenie przez \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\)) nazywa się odchyleniem standardowym z populacji, a nieobciążony (dzielenie przez \(\displaystyle{ \sqrt{n-1}}\)) - odchyleniem standardowym z próby. Przy zastosowaniu tego drugiego mamy więc w mianowniku w końcach przedziału ufności liczbę \(\displaystyle{ \sqrt{n-1}}\).