Estymacja metodą najwiekszej wiarogodnosci

[fon_nojman]

Chcemy znaleźć estymator największej wiarogodności dla rozkładu normalnego \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu,\sigma^2), \mu, \sigma^2}\) to nieznane parametry.

Przypomnę definicję:
Jeżeli dla dowolnego \(\displaystyle{ x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in \mathbb{R}^n}\) istnieje \(\displaystyle{ \hat{\theta}=(\hat{\mu},\hat{\sigma}^2)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R}_+}\) takie, że
\(\displaystyle{ \forall_{\theta\in \mathbb{R} \times \mathbb{R}_+}L(\hat{\theta};x) \ge L(\theta;x),}\)
gdzie \(\displaystyle{ L}\) jest funkcją wiarogodności, to \(\displaystyle{ \hat{\theta}}\) nazywamy estymatorem największej wiarogodności.

Moje pytanie jest takie jeśli ustalimy \(\displaystyle{ x=(x_1,\ldots,x_n), x_1=x_2=\ldots=x_n}\) i przyjmiemy \(\displaystyle{ \mu=x_1}\) to otrzymamy, że
\(\displaystyle{ L(\mu,\sigma^2;x)=\frac{1}{(\sqrt{2\pi\sigma^2})^n}\to \infty}\) przy \(\displaystyle{ \sigma^2\to 0}\) co by znaczyło, że estymator największej wiarogodności nie istnieje a jednak istnieje, gdzie jest błąd w tym rozumowaniu?

[acmilan]

Hmm ciekawe. Właściwie to powinno wyjść że \(\displaystyle{ \sigma^2=0}\).