Wariancja estymatora

[fon_nojman]

Niech \(\displaystyle{ X_1,\ldots,X_n, n>1}\) będzie próbą prosta z rozkładu wykładniczego o gęstości

\(\displaystyle{ f(t)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda t} &\text{dla } t >0\\0 &\text{dla } t \le 0 \end{cases}, t\in \mathbb{R}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \lambda >0}\) jest nieznanym parametrem. Niech dana będzie liczba \(\displaystyle{ a>0.}\) Określmy estymator

\(\displaystyle{ T=\begin{cases} 0 &\text{dla } S \le a\\ \left(\frac{S-a}{S}\right)^{n-1} &\text{dla } S>a \end{cases},}\)

gdzie \(\displaystyle{ S=\sum_{i=1}^n X_i.}\) Wiedząc, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}_{\lambda}T=e^{-\lambda a}=P_{\lambda}(X_1>a)}\) wyznaczyć wariancję estymatora \(\displaystyle{ T.}\)