Wartość oczekiwana estymatora

[Drzewo18]

Niech \(\displaystyle{ X=(X_1,X_2...X_n)}\) będzie próbą prostą z rozkładu normalnego \(\displaystyle{ N(m,\sigma^2)}\). Dobrać stałą \(\displaystyle{ k}\) tak, aby estymator \(\displaystyle{ T(X)=k\sum_{i=1}^{n-1} (X_{i+1}-X_i)^2}\) był nieobciążonym estymatorem parametru \(\displaystyle{ \sigma^2}\).

Wiem że \(\displaystyle{ T(X)}\) można zapisać jako \(\displaystyle{ k\sum \left[(x_{i+1}-\overline{x})^2+(x_i-\overline{x})^2-2(x_{i+1}-\overline{x})(x_i-\overline{x}) \right]}\) i można wartość oczekiwaną włączyć pod sumę, tylko jak potem policzyć wartości oczekiwane tych nawiasów?
Podobno ma wyjść \(\displaystyle{ k(n-1)2\sigma^2}\)...

[Adifek]

Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ X_{i+1}-X_{i}}\) też ma rozkład normalny, a suma kwadratów rozkładu normalnego ma rozkład \(\displaystyle{ \chi ^{2}}\).