Witam. Na zaliczenie pomimo tego,że nie robiliśmy podobnych zadań, profesor zadał nam następujące zadanie:
Wiadomo, że zmienna \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{N}(10,\sigma)}\) przy nieznanej wariancji . Zweryfikować hipotezę \(\displaystyle{ H:\sigma =4}\) jeśli 9-elentowa próba ma postać; \(\displaystyle{ 12, 7, 8, 9, 10, 7, 8, 11}\)
Z obliczeniem wartości średniej nie będzie oczywiście problemu, czy z wariancją i jednocześnie odchyleniem standardowym, ale dalej już mam problem. Dziękuję z góry za pomoc
Udowodnienie hipotezy przy nieznanej wariancji
Udowodnienie hipotezy przy nieznanej wariancji
Ostatnio zmieniony 19 sty 2013, o 18:27 przez pyzol, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Temat umieszczony w złym dziale.
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Udowodnienie hipotezy przy nieznanej wariancji
Musisz użyć testu istotności dla wariancji.
Hipotezą zerową będzie tu hipoteza:
\(\displaystyle{ H_0:\ \sigma^2=16}\)
wobec hipotezy alternatywnej
\(\displaystyle{ H_1:\ \sigma^2\neq16}\)
Ponieważ liczność próby jest nieduża (\(\displaystyle{ n=9}\)) to do weryfikacji tej hipotezy wykorzystujemy statystykę
\(\displaystyle{ W=\frac{1}{\sigma_0^2}\sum\limits_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X})^2}\)
gdzie \(\displaystyle{ \sigma_0=4,n=9,X_i=12,7,8,9,10,7,8,11}\) no a \(\displaystyle{ \bar{X}}\) trzeba policzyć.
Statystyka ta ma rozkład \(\displaystyle{ \chi^2}\) o \(\displaystyle{ n-1=9-1=8}\) stopniach swobody.
Nie podałeś na jakim poziomie istotności należy weryfikować tę hipotezę.
Tak czy inaczej najpierw obliczasz wartość statystyki \(\displaystyle{ W}\).
Potem z tablic rozkładu\(\displaystyle{ \chi^2}\) dla ustalonego poziomu istotności (najczęściej będzie to 0,05, ale czasem w zadaniach pojawiają się 0,02 albo 0,01 a nawet mniejsze) i 8 stopni swobody odczytujesz wartość krytyczną. (zazwyczaj poziom istotności jest podany w zadaniu).
Dla przykładu, gdy \(\displaystyle{ \alpha=0,05}\) i \(\displaystyle{ n-1=8}\) to z tablic mamy:
\(\displaystyle{ \chi^2_{0,05;8}=15,507}\)
Wtedy obszar krytyczny będzie przedziałem \(\displaystyle{ (15,507,\infty)}\) i jeżeli wyliczona wartość \(\displaystyle{ W}\) będzie należeć do tego obszaru to odrzucamy hipotezę zerową i przyjmujemy alternatywną, natomiast jeżeli \(\displaystyle{ W}\) nie będzie należeć do obszaru krytycznego, to stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
UWAGA: Nigdy nie stwierdzamy, że przyjmujemy hipotezę zerową, tylko używamy sformułowania, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
Jeżeli wybierzemy inny poziom istotności \(\displaystyle{ \alpha}\) to zmieni się jedynie wartość odczytana z tablic i oczywiście obszar krytyczny. Natomiast rachunki dla \(\displaystyle{ W}\) będą oczywiście niezmienione.
To wszystko można łatwo znaleźć np. w Sobczyku albo w necie po wpisaniu hasła "weryfikacja hipotez parametrycznych".
Hipotezą zerową będzie tu hipoteza:
\(\displaystyle{ H_0:\ \sigma^2=16}\)
wobec hipotezy alternatywnej
\(\displaystyle{ H_1:\ \sigma^2\neq16}\)
Ponieważ liczność próby jest nieduża (\(\displaystyle{ n=9}\)) to do weryfikacji tej hipotezy wykorzystujemy statystykę
\(\displaystyle{ W=\frac{1}{\sigma_0^2}\sum\limits_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X})^2}\)
gdzie \(\displaystyle{ \sigma_0=4,n=9,X_i=12,7,8,9,10,7,8,11}\) no a \(\displaystyle{ \bar{X}}\) trzeba policzyć.
Statystyka ta ma rozkład \(\displaystyle{ \chi^2}\) o \(\displaystyle{ n-1=9-1=8}\) stopniach swobody.
Nie podałeś na jakim poziomie istotności należy weryfikować tę hipotezę.
Tak czy inaczej najpierw obliczasz wartość statystyki \(\displaystyle{ W}\).
Potem z tablic rozkładu\(\displaystyle{ \chi^2}\) dla ustalonego poziomu istotności (najczęściej będzie to 0,05, ale czasem w zadaniach pojawiają się 0,02 albo 0,01 a nawet mniejsze) i 8 stopni swobody odczytujesz wartość krytyczną. (zazwyczaj poziom istotności jest podany w zadaniu).
Dla przykładu, gdy \(\displaystyle{ \alpha=0,05}\) i \(\displaystyle{ n-1=8}\) to z tablic mamy:
\(\displaystyle{ \chi^2_{0,05;8}=15,507}\)
Wtedy obszar krytyczny będzie przedziałem \(\displaystyle{ (15,507,\infty)}\) i jeżeli wyliczona wartość \(\displaystyle{ W}\) będzie należeć do tego obszaru to odrzucamy hipotezę zerową i przyjmujemy alternatywną, natomiast jeżeli \(\displaystyle{ W}\) nie będzie należeć do obszaru krytycznego, to stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
UWAGA: Nigdy nie stwierdzamy, że przyjmujemy hipotezę zerową, tylko używamy sformułowania, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
Jeżeli wybierzemy inny poziom istotności \(\displaystyle{ \alpha}\) to zmieni się jedynie wartość odczytana z tablic i oczywiście obszar krytyczny. Natomiast rachunki dla \(\displaystyle{ W}\) będą oczywiście niezmienione.
To wszystko można łatwo znaleźć np. w Sobczyku albo w necie po wpisaniu hasła "weryfikacja hipotez parametrycznych".