Estymacja metodą momentów

[namruf15]

Cecha X w populacji ma rozkład trzypunktowy: \(\displaystyle{ P\left( X=-1\right)=0.5 - p , P( X = 0) = 0.5,
P( X = 1) = p}\) . Wyznacz estymator parametru p metodą momentów.

Metoda momentów ma polegać na porównywaniu momentów teoretycznych z empirycznymi więc wyliczam moment zwykły teoretyczny \(\displaystyle{ m_1}\) oraz empiryczny \(\displaystyle{ M_1}\).

\(\displaystyle{ m_1 = E(X) = \sum_{i=1}^{3}x_i p = 2p - \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ M_1 = \frac{1}{3} \sum_{i=1}^{3} X_i = 0}\)
\(\displaystyle{ 2p - \frac{1}{2} = 0,p = \frac{1}{4}}\)

W czym popełniam błąd? Bardzo proszę o dokładne wyjaśnienie tej metody.

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ m_1 = E(p) = \sum_{i=1}^{3}x_i p = 2p - \frac{1}{2}}\)

skąd to niby jest?

I popraw treść bo jest do bani ten rozkład

[namruf15]

Przepraszam, już poprawiłem. Wyliczam najpierw moment zwykły, który jest po prostu wartością średnią. W definicji tej metody jest napisane, że następnie należy porównać go z momentem empirycznym i tak po kolei k - razy na każdy moment danego rzędu, szukając prawidłowości, która ma być tym szukanym estymatorem.

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ 2p - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow p= \frac{1}{4}}\)

ee?

[namruf15]

Tak racja, nie zauważyłem błędu w obliczeniach. Jednak chodzi mi o teoretyczne podstawy tej metody, ponieważ nie rozumiem jak się nią posługiwać.

[miodzio1988]

Metoda momentów ma polegać na porównywaniu momentów teoretycznych z empirycznymi

teoretyczny wyliczyłeś. Jaki jest empiryczny pierwszy moment? (czy też estymator tego momentu)

[namruf15]

\(\displaystyle{ M_1 = \frac{1}{3} \sum_{i=1}^{3} X_i = \frac{-1+0+1}{3} = 0}\)

Momenty nie są równe, powinienem porównywać następne? Będzie się zmieniał jedynie znak i zniknie nam zmienna p, słabo to rozumiem .

[lokas]

\(\displaystyle{ M_1 = \frac{1}{3} \sum_{i=1}^{3} X_i = \frac{-1+0+1}{3} = 0}\)

Momenty nie są równe, powinienem porównywać następne? Będzie się zmieniał jedynie znak i zniknie nam zmienna p, słabo to rozumiem .

Pierwszy moment z próby jest przecież także zmienną losową bo nie masz konkretnej próby
\(\displaystyle{ M_{1} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X _{i}}\)
teraz podstaw