Estymacja przedziałowa - odróżnienie modeli

[MakCis]

Stosując metodę estymacji punktowej musimy sobie odpowiedzieć najpierw na pytanie, czy znamy odchylenie standardowe. Poniżej zamieściłem treść dwóch zadań i okazuje się, że w pierwszym jest znane odchylenie, zaś w drugim nie. Zupełnie nie rozumiem dlaczego.

1.
W pewnym hipermarkecie przeprowadzono badanie mające na celu oszacowanie średniego, dziennego zapotrzebowania na mleko (w dniach roboczych). Zbadano wielkość sprzedaży w ciągu 50 losowo wybranych dni roboczych, otrzymując średnią dzienną sprzedaż równą 100 litrów, przy odchyleniu standardowym 15 litrów.

W tym przykładzie zastosowano model I stąd: 39312.htm zatem wnisokuję, że znamy odchylenie standardowe.

2.
Kierownictwo banku chce oszacować średni czas obsługi klienta przy pewnym okienku kasowym. Na podstawie czasu obsługi dla 20 losowo wybranych klientów, stwierdzono, że średni czas obsługi przy tym okienku wynosi 15 min, przy odchyleniu standardowym 5 min. Wiadomo dodatkowo,
że czas obsługi jest zmienną losową o rozkładzie normalnym.

Rozwiązując ten przykład zastosowano model II stąd: 39312.htm

Dla mnie te dwa zadania niczym się nie różnią. Zmienne losową mają rozkład normalny, podane są te same dane. W obu przykładach \(\displaystyle{ n \le 30}\). Jak więc to się rozróżnia?

[mmoonniiaa]

W obu tych zadaniach nie znasz odchylenia standardowego z populacji, czyli model I odpada. Ze względu na liczebność próby w zadaniu 1. powinien zostać zastosowany model III, a w zadaniu 2. ze względu na liczebność próby i rozkład normalny cechy - model II.

[MakCis]

W obu tych zadaniach nie znasz odchylenia standardowego z populacji,

W takim razie co to jest za odchylenie standardowe, które podano w treści zadania?

Możesz mi podać przykład kiedy je znamy?

[mmoonniiaa]

Podane zostało odchylenie standardowe z próby, oznaczane jako \(\displaystyle{ s}\). Odchylenie standardowe z populacji jest oznaczane jako \(\displaystyle{ \sigma}\). W zadaniu 1. masz próbę 50 dni i dla tej próby została policzona średnia i odchylenie standardowe. Tak samo w zadaniu 2. masz próbę 20 klientów, podana została średnia i odchylenie z tej próby.

Model I zastosujesz, gdy znane jest odchylenie standardowe z populacji. Musi być wyraźnie napisane, że dana cecha ma rozkład normalny o konkretnym odchyleniu standardowym.

[MakCis]

Ok, chyba rozumiem. Mam tu jeszcze kilka podobnych przykładów, możesz zobaczyć czy dobrze dobieram model? Z góry dzięki.

Zadanie 1. Zmierzono czas życia, czyli czas działania, próby losowej 16 żarówek o ustalonej mocy.
Średni czas zycia w próbie wyniósł 3000 godzin, natomiast odchylenie standardowe 20 godzin. Przy
założeniu, że czas żarówki jest zmienną losowa o rozkładzie normalnym, podać przedział ufności
dla wartości średniej tego rozkładu na poziomie ufności 0,9.

Model II


Zadanie 2. Masz do dyspozycji dane, które można uznać za obserwacje rozkładu normalnego.
Rozmiar próby jest równy 34, średnia próbkowa 3,54 a odchylenie standardowe z próby 0,13.
Wyznacz 98% przedział ufności dla wartości średniej μ.

Model III


Zadanie 3. Inwestor chce oszacować ryzyko pewnego przedsięwzięcia, które przynosi losowy zysk
o rozkładzie normalnym. Ryzyko jest mierzone odchyleniem standardowym zysku. Po obliczeniu
średniej i wariancji z próby prostej złożonej z n = 17 zysków z przeszłości, otrzymano następujace
wyniki: \(\displaystyle{ ¯X_17 = 1500 [zł]}\), \(\displaystyle{ S^2_17 = 64 516 [zł^2]}\). Podac przedział ufnosci na poziomie ufnosci 0,99 dla
(a) oczekiwanego zysku;
(b) ryzyka.

a) Model II

b) Tutaj nie za bardzo wiem o co chodzi więc prosiłbym o pomoc.

[mmoonniiaa]

Oczekiwany zysk zmierzysz średnią arytmetyczną, dlatego wybierasz schemat przedziału ufności dla średniej arytmetycznej. Ryzyko zmierzysz odchyleniem standardowym, dlatego powinieneś wybrać schemat przedziału ufności dla wariancji (na koniec weźmiesz pierwiastek z wariancji, aby wrócić do odchylenia). Skorzystaj z tej pomocy: 39346.htm

[MakCis]

No i oczywiście wybieramy model I z tamtego tematu.

A co zrobić w przypadku, gdy mamy podany taki jakby histogram pomiarów?

Np. takie zadanie:

W celu oszacowania wytrzymałości na ściskanie pewnego betonu dokonano n=80 niezależnych pomiarów wytrzymałości. Otrzymano wyniki:

Wytrzymałość: 190-194 Liczba pomiarów: 6
Wytrzymałość: 194-198 Liczba pomiarów: 12
Wytrzymałość: 198-202 Liczba pomiarów: 26
Wytrzymałość: 202-206 Liczba pomiarów: 20
Wytrzymałość: 206-210 Liczba pomiarów: 11
Wytrzymałość: 210-214 Liczba pomiarów: 5

Przyjmujemy, że wytrzymałość ma rozkład normalny i dla średniej chcemy wyznaczyć przedział ufności na poziomie 0,99.

Czy tutaj chodzi o to, że trzeba zauważyć, że dla wszystkich pomiarów wytrzymałość waha się o 4 i to jest nasze odchylenie standardowe?

[mmoonniiaa]

Zapomniałam wcześniej napisać, że wybrałeś dobre modele do zadań 1-3.
W kolejnym zadaniu masz szereg rozdzielczy przedziałowy - to jest Twoja próba. Musisz policzyć w odpowiedni sposób parametry z próby: średnią i odchylenie. Są odpowiednie wzory dla szeregów przedziałowych.
Przeprowadzone pomiary zostały "poukładane" w takie przedziały, których szerokość wynosi \(\displaystyle{ 4}\), ale to nie ma nic wspólnego z odchyleniem. Liczebność w każdym przedziale wpłynie na to odchylenie.

[MakCis]

Ok jeśli więc chodzi o średnią arytmetyczną to liczy się to łatwo. W książce znalazłem zależność \(\displaystyle{ x^{-} = \frac{1}{n} \sum x_i n_i}\) (gdzie \(\displaystyle{ x_i}\) to środki przedziałów). Zaś na wariancje \(\displaystyle{ s^{*2}= \frac{1}{n-1} \sum (x_i - x^{-})^2 n_i}\). I potem przedział ufności już łatwo się znajdzie.