Estymacja w rozkładzie wykładniczym

[sowka99991]

Bezawaryjny czas pracy pewnego urządzenia (w godz.) jest opisany rozkładem wykładniczym o paramerze \(\displaystyle{ \lambda}\). Przetestowalismy \(\displaystyle{ 8}\) egzemplarzy i pracowaly nastepujace liczby godzin: \(\displaystyle{ 14,38,44,56,58,62,77,81}\). Wyestymuj parametr \(\displaystyle{ \lambda}\)

Bardzo prosze o rychłą pomoc, z gory dzieki!!:)

[Adifek]

Nie wiem jaką gęstość przyjmujecie dla rozkładu wykładniczego?

Jeśli \(\displaystyle{ X \sim \lambda e^{-\lambda x}}\), to będzie tak:

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X= \frac{1}{\lambda}}\), wobec czego możemy przyjąć estymator

\(\displaystyle{ \widehat{\lambda} = \frac{1}{\overline{X}}}\)

Więc wystarczy, że policzysz średnią i bierzesz jej odwrotność


Jeśli bierzecie \(\displaystyle{ X \sim \frac{1}{\lambda} e^{-x \slash \lambda }}}\), to będzie jeszcze prościej, bo wtedy

\(\displaystyle{ \widehat{\lambda} = \overline{X}}\)

[sowka99991]

ok dziękuję, ale co dalej? biorę pod uwagę tę drugą opcję więc jak będzie wyglądało rozwiązanie zadania? Nie mam pojęcia bo nie miałem wczeniej do czynienia ze statystyką:( Bardzo proszę o pomoc!!!

[Adifek]

\(\displaystyle{ \overline{X}}\) to po prostu średnia z próby, czyli wystarczy policzyć średnią z obserwacji I to już będzie oszacowanie naszego parametru.

[sowka99991]

ok bardzo bardzo dziękuję Mam jeszcze jedno zadanie, z którym nie mogę sobie poradzić Pewnie jest banalnie proste, ale jestem sceptyczny. Bardzo proszę o rozwiązanie!

Pewna cecha ma rozkład normalny N(m, [gamma]). Na podstawie próbki prostej
1,41 1,88 2,22 2,47 3,88 4,04
wyestymuj parametry m, [gamma]

[Adifek]

Najlepiej wziąć najprostsze estymatory wartości oczekiwanej i odchylenia standardowego.

\(\displaystyle{ \widehat{m} =\overline{X}}\)

\(\displaystyle{ \widehat{\gamma } = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}- \overline{X} )^{2}}\)