Zadanie 1.
Niech \(\displaystyle{ X_1, X_2, X_3,...,X_n}\) będzie próbą z rozkładu geometrycznego z parametrem \(\displaystyle{ p}\). Znajdź rozkład statystyki \(\displaystyle{ T(X_1,...,X_n) = X_4 + X_7}\).
Gdyby zmienne losowe były ciągłe to zastosowałbym splot. A co zrobić w przypadku dyskretnym? Czy mam wyjść z tego, że \(\displaystyle{ P(X_4+X_7=k) = P(X_4=1,X_7=k-1)+P(X_4=2,X_7=k-2) + ... +P(X_4=k-2,X_7=2)+P(X_4=k-1,X_7=1) = \sum_{i=1}^{k-1} P(X_4=i,X_7=k-i)}\). Czy do tej pory jest ok? Dalej już sobie poradzę.
Zadanie 2.
Niech \(\displaystyle{ X_1, X_2, X_3,...,X_n}\) będzie próbą z rozkładu wykładniczego z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\). Wykorzystując czwarty moment wyznacz metodą momentów estymator parametru \(\displaystyle{ \lambda}\) .
Mamy zatem\(\displaystyle{ EX^4 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^4}\).
Jak policzyć \(\displaystyle{ EX^4}\)? Wprawdzie \(\displaystyle{ EX^4 = \int_{0}^{\infty} x^4 \lambda e^{\lambda x} dx}\), ale czy nie da się jakoś szybciej?