Witam.
Mam do rozwiązania dwa zadania, jednak nie bardzo wiem, czy dobrze je rozwiązuję. Prosiłbym o sprawdzenie moich rozwiązań.
Zad. 1
Niech dana będzie próbka \(\displaystyle{ x_{1},...,x_{n}}\) pewnej populacji generalnej. Jako estymator
wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ a}\) wybierzmy \(\displaystyle{ m=x_{1}}\). Sprawdzić nieobciążoność i zgodność tego estymatora.
Zad. 2
Zmienna losowa \(\displaystyle{ \xi}\) ma gęstość:
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}kx \quad \hbox{dla} \ x \in [0,\sqrt{\frac{2}{k}}]\\0 \quad \hbox{dla} \ x\not\in [0,\sqrt{\frac{2}{k}}]\end{cases}}\)
Znaleźć estymator największej wiarygodności wartości oczekiwanej ZL \(\displaystyle{ \xi}\) znając
dane jej próbki \(\displaystyle{ x_{1},...,x_{n}}\)
Rozwiązanie:
Liczę sobie najpierw wartość oczekiwaną ZL \(\displaystyle{ \xi}\). Więc:
\(\displaystyle{ EX = \int\limits_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx = \int\limits_{0}^{\sqrt{\frac{2}{k}}} kx^{2}dx = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{2}{k}}=a}\)
Stąd \(\displaystyle{ k=\frac{8}{9a^{2}}}\)
Buduję funkcję największej wiarygodności:
\(\displaystyle{ f(x,a)= \prod_{i=1}^{n} \frac{8}{9a^{2}} x_{i} = \left(\frac{8}{9}\right)^{n} \frac{1}{a^{2n}} \prod_{i=1}^{n} x_{i}}\)
Logarytmiczna funkcja największej wiarygodności:
\(\displaystyle{ L(x,a)=ln(f(x,a))=nln \left(\frac{8}{9}\right) - 2nln(a) + ln \left(\prod_{i=1}^{n} x_{i}\right)}\)
Jej pochodna względem \(\displaystyle{ a}\) będzie równa:
\(\displaystyle{ \frac{\partial L(x,a)}{\partial a}= - \frac{2n}{a}}\)
I przyrównując ją do zera:
\(\displaystyle{ - \frac{2n}{a}=0}\)
dostaję coś takiego i nie wiem, co z tym dalej zrobić...
Proszę o sprawdzenie i wskazówki.
Z góry dziękuję za pomoc.