prawdopodobieństwo, rozkład geometryczny, zmienne losowe

[xalulax]

Potrzebuję pomocy w tym zadaniu:

Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 100 niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie geometrycznym z \(\displaystyle{ p=0,75}\) przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ (1,2]}\)?

Próbowałam zrobić to ze schematu Bernoulliego, ale że jest mowa o średniej arytm. to mi nie pasowało.

A coś takiego \(\displaystyle{ P(1 \le x \le 2)= \int_{1}^{2} f(t) dt}\)?

Nie wiem jak się zabrać za to zadanie

[pyzol]

Centralne twierdzenie graniczne miałeś?

[xalulax]

Nie kojarzę czegoś takiego
W odpowiedziach jest \(\displaystyle{ P \approx 1}\)

[pyzol]

A tw. de Moivre'a - Laplace'a ?

[xalulax]

Też nie znam, ale ogólnie chodzi o to żeby rozwiązać to jak najprostszym sposobem i przedstawić przy tablicy

[pyzol]

No to właśnie najprostszy podaję. Zgodnie z CTG zmienna:
\(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}}\) ma rozkład normalny \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0;1)}\).
\(\displaystyle{ P(1 \le \overline{x} \le 2) \approx P\left(n \le \sum_{i=1}^n X_i \le 2n\right)=P\left(n-n\mu \le \sum_{i=1}^n X_i -n\mu \le 2n-\n\mu \right)= P\left(\frac{n-n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \le \frac{\sum_{i=1}^n X_i -n\mu}{\sqrt{n} \sigma} \le \frac{2n-n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \right)=\Phi \left( \frac{2n-n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \right)-\Phi\left(\frac{n-n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \right)}\)
Podstawić \(\displaystyle{ \mu, n, \sigma}\) do wzoru i powinno coś wyjść.

[xalulax]

czyli
\(\displaystyle{ n=100}\)
\(\displaystyle{ \mu=np}\)
\(\displaystyle{ \sigma= \sqrt{np(1-p)}}\)
?

[pyzol]

\(\displaystyle{ \mu}\) i \(\displaystyle{ \sigma}\) to parametry z rozkładu geometrycznego o parametrze \(\displaystyle{ p}\).

[xalulax]

\(\displaystyle{ EX= \frac{1}{p}}\)
\(\displaystyle{ DX= \sqrt{ \frac{1-p}{ p^{2} } }}\)

tylko że z tych wzorów wynik nie zgadza się z tym z odpowiedzi, a według wzorów z rozkładu normalnego tych poprzednich jest ok

[pyzol]

Przelicz jeszcze raz. Nie szukamy wzorów, które pasują nam do odpowiedzi, tylko opieramy się na treści.

[xalulax]

jest tak:

\(\displaystyle{ EX=\mu=1,34}\)
\(\displaystyle{ DX=\sigma=0,67}\)

\(\displaystyle{ \Phi \left( \frac{200-134}{6,7} \right)- \Phi \left( \frac{100-134}{6,7} \right)=\Phi \frac{66}{6,7} - \Phi \frac{-34}{6,7}=\Phi\left( 9,85\right) +\Phi\left( 5,07\right) =\Phi \left( 14.92\right)}\)

[pyzol]

\(\displaystyle{ \Phi(x)}\), to dystrybuanta rozkładu normalnego. Ostatnie dwa przejścia są nieprawidłowe, a wręcz niedopuszczalne. Weź tablice i sprawdź, ze pierwsza z wartości jest bliska jeden natomiast druga jest bliska zero.

[xalulax]

\(\displaystyle{ \Phi \left( \frac{200-134}{6,7} \right)- \Phi \left( \frac{100-134}{6,7} \right)=\Phi\left( 9,85\right) -\Phi\left( -5,07\right)}\)

nie ma takich wartości w tablicach, czuje że to jakaś drobnostka, która do mnie nie może dotrzeć hmmm

[pyzol]

NIe ma takich wartości, bo są tak bliskie jedynce i zeru, że ich się nie pisze
Swoją drogą mi mniejsze argumenty co do wartości bezwlędnej wyszły.

[xalulax]

Dziękuję za pomoc teraz wszystko jasne