Rozkład X+Y

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
Awatar użytkownika
Drzewo18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 26 lis 2012, o 17:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sopot
Podziękował: 63 razy
Pomógł: 3 razy

Rozkład X+Y

Post autor: Drzewo18 »

Jak wyznaczyć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Z=X+Y}\), jeżeli wektor losowy (X,Y) ma gęstość łączną \(\displaystyle{ f(x,y)=Ae^{-x^2-y^2}}\)?
Znalazłem tylko macierz kowariancji, da się tu jakoś wykorzystać informacje o wariancji i kowariancji X i Y?
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Rozkład X+Y

Post autor: Adifek »

Zwróć uwagę, że gęstość rozkładu łącznego można zapisać jako iloczyn gęstości brzegowych. Stąd \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne i oraz: \(\displaystyle{ X,Y \sim N\left( 0, \frac{1}{2}\right)}\).

Zatem \(\displaystyle{ Z=X+Y \sim N\left( 0+0,\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \right) = N(0,1)}\)
Awatar użytkownika
Drzewo18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 26 lis 2012, o 17:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sopot
Podziękował: 63 razy
Pomógł: 3 razy

Rozkład X+Y

Post autor: Drzewo18 »

A skąd wiesz, że można zapisać gęstość jako iloczyn gęstości brzegowych? Przecież to można zrobić tylko wtedy, gdy wiadomo, że te zmienne są niezależne, a tu nie podali tego w zadaniu.
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Rozkład X+Y

Post autor: Adifek »

\(\displaystyle{ f(x,y)=Ae^{-x^2-y^2} = \left( \sqrt{A}e^{-x^{2}} \right) \cdot \left( \sqrt{A}e^{-y^2} \right)}\)
Awatar użytkownika
Drzewo18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 26 lis 2012, o 17:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sopot
Podziękował: 63 razy
Pomógł: 3 razy

Rozkład X+Y

Post autor: Drzewo18 »

Fakt, nie wpadłem na to
ODPOWIEDZ