Jak wyznaczyć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Z=X+Y}\), jeżeli wektor losowy (X,Y) ma gęstość łączną \(\displaystyle{ f(x,y)=Ae^{-x^2-y^2}}\)?
Znalazłem tylko macierz kowariancji, da się tu jakoś wykorzystać informacje o wariancji i kowariancji X i Y?
Rozkład X+Y
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Rozkład X+Y
Zwróć uwagę, że gęstość rozkładu łącznego można zapisać jako iloczyn gęstości brzegowych. Stąd \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne i oraz: \(\displaystyle{ X,Y \sim N\left( 0, \frac{1}{2}\right)}\).
Zatem \(\displaystyle{ Z=X+Y \sim N\left( 0+0,\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \right) = N(0,1)}\)
Zatem \(\displaystyle{ Z=X+Y \sim N\left( 0+0,\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \right) = N(0,1)}\)
- Drzewo18
- Użytkownik
- Posty: 281
- Rejestracja: 26 lis 2012, o 17:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sopot
- Podziękował: 63 razy
- Pomógł: 3 razy
Rozkład X+Y
A skąd wiesz, że można zapisać gęstość jako iloczyn gęstości brzegowych? Przecież to można zrobić tylko wtedy, gdy wiadomo, że te zmienne są niezależne, a tu nie podali tego w zadaniu.