Odchylenie standardowe dla licznej populacji

[Dovv90]

Witam,
mam do obliczenia odchylenie standardowe dla dość licznej populacji (60 elementów).
Ponadto, średnia arytmetyczna wynosi \(\displaystyle{ 956,28(3)}\)

Mam dwa pytania:
1. W zadaniu nie mam wspomnianego tego z jaką dokładnością mam podać wynik odchylenia standardowego. Czy mogę średnią arytmetyczną zaokrąglić do 956? Wszystkie elementy populacji są podane w formie bez części dziesiątych itd. to zwykłe liczby w stylu 900,910 itd.

2. Czy jest jakaś szysza metoda obliczania odchylenia standardowegodla tak licznej populacji niż:

\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{(x1-956)^2+(x2-956)^2+...(xn-956)^2}{60} }}\)

?

Z góry dziękuję za pomoc
Pozdrawiam

[chris_f]

Ad. 1. Z zaokrąglaniem bym uważał, błędy szybko się sumują.
Ad. 2. Oczywiście, że tak, wystarczy, że wykorzystasz równoważny wzór
\(\displaystyle{ s^2=\frac1n\sum_{i=1}^n x_i^2 - \bar{x}^2}\)
czyli nie musisz za każdym razem liczyć różnicy \(\displaystyle{ (x_i-\bar{x})^2}\) podniesionej do kwadratu, tylko spokojnie kwadraty \(\displaystyle{ x_i^2}\), sumujesz je, dzielisz liczbę elementów i odejmujesz średnią podniesioną do kwadratu.
A na koniec \(\displaystyle{ s=\sqrt{s^2}}\).
Co więcej przy tej metodzie popełnia się znacznie mniejszy błąd (bo tylko raz zaokrągloną średnią podnosi się do kwadratu).

[Dovv90]

Dziękuję za odpowiedź chris_f.

Ok, tylko sprawdze czy dobrze rozumiem ten wzór.


\(\displaystyle{ s= \sqrt{\frac{x1^2+x3^2+x3^2+...xn^2}{60}-965,28^2}}\)

Tak by to mniej więcej wyglądało?

[chris_f]

Jak najbardziej i dlatego jest to wygodniejszy wzór, bo do kwadratu podnosisz okrągłe wartości \(\displaystyle{ x_1,x_2,...}\), a tę nieładną wartość tylko raz.
No i potem oczywiście pierwiastek.

[Dovv90]

Pieknie dziękuję chris_f. Takiego fajnego wzoru mi trzeba było.

EDIT: W sumie jest on o tyle prostszy co powiedzialeś, ale i tak liczba wielkości 900+ podniesiona do kwadratu będzie dość duza, i tak kilkadziesiąt razy :p. No ale co zrobić.

-- 1 gru 2012, o 17:02 --

Jeszcze raz zapytam, bo zaiste dziwny wynik mi wyszedł:

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{54891035}{60} - (965,28)^2}=\sqrt{914850,58-931765,47}=\sqrt{-16914,89}}\)

Czy to jest możliwe w statystyce? Czy też nie? Z tego nijak sie nie da pierwiastka wyciągnąć.

[cersei399]

Wariancja nie może wyjść ujemna.
A masz te dane w pliku? Możesz dołączyć do wątku?

[Dovv90]

Jasne, oto one:




Tylko zastanawiam sie nad jednym. Teraz widze, że to jest próbka a nie populacja. Chyba muszę wtedy zastosować inny wzór? Jaki byłby równoważny do tego

\(\displaystyle{ s= \sqrt{\frac{x1^2+x3^2+x3^2+...xn^2}{n}-\bar{x}^2}}\)

Tylko zamiast do populacji do próbki? Poza tym metodą prób i błędów, to przecież pierwiastek z -16 000 będzie równy 126, więc na oko pierwiastek z tej mojej liczby będzie podobny. Skoro średnia arytmetyczna wynosi 926 to przecież to średnie odchylenie jest nawet bliskie prawdy, czy się myle?

EDIT:
Zaraz, przecież ty napisałeś wariacja a nie odchylenie standardowe. Odchylenie standardowe i wariacja to co innego.

[chris_f]

Odchylenie standardowe to po prostu pierwiastek z wariancji \(\displaystyle{ s=\sqrt{s^2}}\).
Zazwyczaj w badaniach statystycznych używamy wyników z próbki - np. jeżeli chcesz oszacować średnią i odchylenie wzrostu wszystkich mieszkańców Warszawy, to raczej nie zmierzysz ich wszystkich, tylko pobierzesz odpowiednio liczebną próbkę, i na tej podstawie oszacujesz średnią i odchylenie.
Ale w Twoim zadaniu masz po prostu policzyć odchylenie z tej próbki.

Nie wiem jak to liczyłeś, wrzuciłem te dane do excela (trochę musiałem pokombinować, bo dałeś dane w postaci obrazka), ale wyszło mi


a wyniki pośrednie
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{60}x_i=57 377}\)
\(\displaystyle{ \bar{x}=\frac{57377}{60}=956,2833333}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{60}x_i^2=54 891 035}\)
\(\displaystyle{ s^2=\frac{1}{60}\sum_{i=1}^{60}x_i^2-\bar{x}^2=\frac{54 891 035}{60}-(956,2833333)^2=
372,7697222}\)
no i odchylenie standardowe
\(\displaystyle{ s=\sqrt{s^2}=\sqrt{372,7697222}=19,30724533}\)

Jeżeli chcesz to prześlę Ci arkusz z tymi obliczeniami.

[Dovv90]

O rany, dzięki chris_f . Teraz rozumiem, wybacz, nie wiedziałem jak wkleić to w formie excelowskiej na forum.
Teraz wszystko jest dla mnie jasne!-- 3 gru 2012, o 13:45 --Witam, mam jeszcze jedno małe pytanie.
Po obliczeniu miar położenia i rozrzutu zastanawiam się nad tym w jaki sposób sporządzać szereg rozdzielczy? Np. dla tych danych, które były tutaj.
Czy mogę sobię wyznaczyć w tabelce dowolne przedziały wedle których stworzę tabelkę częstości wybieram dowolnie? Np.
920-930
930-940
itd? Czy powinienem oprzeć kreację szeregu rozdzielczego na jakichś obliczeniach?