Próba losowa z rozkładu wykładniczego i niezależna zmienna

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
MakCis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1023
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 15 razy

Próba losowa z rozkładu wykładniczego i niezależna zmienna

Post autor: MakCis »

Niech \(\displaystyle{ X_0, X_1,...,X_n}\) będzie próbą z rozkładu wykładniczego z parametrem \(\displaystyle{ \lambda= 1}\) oraz \(\displaystyle{ T}\) niech będzie zmienną losową niezależną od próby o rozkładzie trzypunktowym
\(\displaystyle{ P(T = 0) = \frac{1}{5} // P(T = 5) = \frac{1}{10} // P(T = 7) = \frac{7}{10}}\)

(a) Znajdź rozkład statystyki \(\displaystyle{ U = min(X_0, X_1, ... ,X_T )}\).
(b) Znajdź rozkład statystyki \(\displaystyle{ U = max(X_0, X_1 ,... ,X_T )}\).

Nie potrafię powiązać tej zmiennej losowej T z moją próbą losową. Mógłby ktoś pomóc?
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Próba losowa z rozkładu wykładniczego i niezależna zmienna

Post autor: Lorek »

W zależności od tego jakie będzie \(\displaystyle{ T}\), z tylu \(\displaystyle{ X_i}\) będziesz liczyć minimum, np. z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\) będziesz mieć statystykę \(\displaystyle{ U=\min\{X_0,X_1,X_2,X_3,X_4,X_5\}}\), ogólnie to wyjdzie mniej więcej coś takiego

\(\displaystyle{ \PP(U<t)=\PP (U_0<t, T=0)+\PP (U_5<t, T=5)+\PP(U_7<t, T=7)}\)
gdzie \(\displaystyle{ U_i=\min\{X_0,X_1,X_2,...,X_i\}}\)
MakCis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1023
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 15 razy

Próba losowa z rozkładu wykładniczego i niezależna zmienna

Post autor: MakCis »

Ok rozumiem. Tylko jeszcze się zastanawiam, co należałoby zrobić gdybyśmy mieli rozkład dyskretny np. dwupunktowy, który nie ma nawet jasno zdefiniowanej dystrybuanty?

-- 18 listopada 2012, 13:46 --

Czy wtedy należy policzyć po prostu \(\displaystyle{ \PP(U=t)}\) gdzie \(\displaystyle{ t \in \left\{ 0,1\right\}}\) ?
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Próba losowa z rozkładu wykładniczego i niezależna zmienna

Post autor: Lorek »

Akurat rozkład dwupunktowy ma jasno zdefiniowaną dystrybuantę (choć wszystko zależy od samej definicji dystrybuanty). Ale faktycznie może lepiej wyznaczyć po prostu \(\displaystyle{ \PP(U=t)}\), tylko trzeba najpierw się zastanowić jakie wartości może przyjmować \(\displaystyle{ U}\).
ODPOWIEDZ