Wariacja i kwantyle

[raczka555]

Dystrybuanta zmiennej losowej X typu ciaglego dana jest wzorem \(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0 \ dla \ x\le 0 \\ \frac{1}{18}x^2 \ dla \ x\in(0,3] \\ -\frac{1}{18}x^2+\frac{2}{3}x-1 \ dla \ x\in(3,6] \\ 1 \ dla \ x>6 \end{cases}}\). Oblicz Var(x) i kwantyl rzedu \(\displaystyle{ \frac{2}{9}}\).

Wariancje licze w ten sposob, ze wyznaczam najpierw gestosc czyli pochodna z dystrybuanty \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{9}x \ dla \ x\in(0,3] \\ -\frac{1}{9}x+\frac{2}{3} \ dla \ x\in(3,6] \\ 0 \ dla \ pozostalych \end{cases}}\) a potem licze
\(\displaystyle{ EX=\int_0^3\frac{1}{9}x^2 dx+\int_3^6-\frac{1}{9}x^2+\frac{2}{3}xdx \\
EX^2=\int_0^3\frac{1}{9}x^3 dx+\int_3^6-\frac{1}{9}x^3+\frac{2}{3}x^2dx}\)
a potem \(\displaystyle{ VarX=EX^2-(EX)^2}\)
dobry sposob?
jesli tak to prosze o podpowiedz jak wyznaczyc ten kwantyl

[szw1710]

Warunek na kwantyl \(\displaystyle{ k_p}\) rzędu \(\displaystyle{ p}\) jest trywialny: \(\displaystyle{ F(k_p)=p}\).

W \(\displaystyle{ EX^2}\) na początku brakuje Ci minusa. Poza tym metoda OK - rachunków nie sprawdzałem.

A sprawdziłaś czy \(\displaystyle{ F}\) jest w ogóle dystrybuantą?

[raczka555]

\(\displaystyle{ F(k_p)=\frac{2}{9}}\) i jak teraz wyznaczyć \(\displaystyle{ k_p}\)? bo chyba nie chodzi o to żeby wstawiać wszystkie możliwe liczby do wzoru i czekać aż wyjdzie \(\displaystyle{ \frac{2}{9}}\)

nie sprawdzilam czy F jest dystrybuantą, a co tu powinnam sprawdzic? czy jest lewostronnie ciagla i nieujemna?

[szw1710]

Właśnie o to chodzi, żeby do drugiego bądź trzeciego wzoru wstawić. Nie masz za dużo możliwości. Wstawisz do drugiego, rozwiążesz równanie, sprawdzisz czy \(\displaystyle{ k_p}\) leży w odpowiednik przedziale i już. Jeśli nie - trzeci wzór i po sprawie.

[wiskitki]

Można po prostu obliczyć całkę, tak jak ja tutaj: www.matematyka.pl/302410.htm