Gęstość prawdopodobieństwa

[tito1977]

Proszę o potwierdzenie lub zanegowanie mojego toku rozumowania

Zadanie
Funkcje f i g są gęstościami. Dla jakich liczb a i b funkcja af+bg jest gęstością

Rozwiązanie

Skoro f i g są gęstościami to:
(1)\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty }f(x)dx=1}\)
(2)\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty }g(x)dx=1}\)
Jeżeli funkcja af+bg ma być gęstością to
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty }(af(x)+bg(x))dx=1}\)
przekształcając równanie i wykorzystując własności całek
\(\displaystyle{ a\int_{- \infty }^{ \infty }f(x)dx+b\int_{- \infty }^{ \infty }g(x)dx=1}\)
wykorzystując równania (1) i (2) otrzymujemy
\(\displaystyle{ a+b=1}\)
zatem rozwiazań jest nieskończenie wiele
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=t \\ b=1-t \end{cases}}\) gdzie \(\displaystyle{ t \in R}\)

jeżeli rozwiązanie jest poprawne czy trzeba coś dodatkowo założyć?

[szw1710]

Musisz także dobrać tak \(\displaystyle{ a,b}\), żeby funkcja \(\displaystyle{ af+bg}\) była nieujemna. Jest to spełnione np. jeśli \(\displaystyle{ a,b\ge 0}\).

Będziemy mieli wtedy twierdzenie, że kombinacja wypukła funkcji gęstości jest też funkcją gęstości i to jest ładny wynik.

Oczywiście to co piszę, jest warunkiem wystarczającym. Pozostaje kwestia, czy także koniecznym. Ale nie sądzę. Otóż dla konkretnych funkcji \(\displaystyle{ f,g}\) możesz nawet dobrać jedną z liczb \(\displaystyle{ a,b}\) ujemną (obie nie mogą być ujemne - dlaczego?) tak, żeby kombinacja liniowa byłą gęstością. Ale twierdzę, że da się wziąć takie gęstości \(\displaystyle{ f,g}\) (konkretnej postaci), dla których w grę wchodzą tylko \(\displaystyle{ a,b\ge 0}\). A więc dojdziemy do wniosku, że \(\displaystyle{ af+bg}\) jest gęstością \(\displaystyle{ \iff a+b=1}\) oraz \(\displaystyle{ a,b\ge 0}\). Czyli - jak piszesz - \(\displaystyle{ a=t,\;b=1-t}\), lecz przy \(\displaystyle{ 0\le t\le 1}\).

[tito1977]

własnie doczytałem o tej nieujemności stad to moje ostatnie zdanie w poscie, tak czulem ze trzeba to sprawdzic. I tak dla obu dodatnich to jest oczywiste ze spelnia dla obu ujemnych rozumiem ze nie moga być. Nie umiem wymyslic dowodu dla liczb o różnych znakach, ale skoro twierdzisz ze mozna wymyslic kontrprzykład to zastanowie sie nad nim, moze cos wymysle

jezeli ktos wpadnie na kontrprzyklad poprosze o niego

[szw1710]

Kontrprzykład w tym sensie, że dla dwóch konkretnych gęstości nie pójdzie z ujemnym np. \(\displaystyle{ a}\).

[tito1977]

no tak rozumiem ze jezeli wskaze dwie funkcje gęstości f i g dla których dobiore tak a i b że będą różnych znaków i a+b=1 udowadniam, że a i b musza być liczbami dodatnimi

chyba mam

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 0,75+0,75x^{2} dla x \in (0,1) \\ 0 dla x \in (- \infty ,0> \cup <1, \infty ) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ g(x)=\begin{cases} 3x^{2} dla x \in (0,1) \\ 0 dla x \in (- \infty ,0> \cup <1, \infty ) \end{cases}}\)

a=4 i b=-3

[szw1710]

Nie sprawdzałem, ale w tym przypadku to nic nie mówi. Dla tych konkretnych gęstości możemy mieć skalar ujemny. Ale o ile rozumiem, pytanie było o to, że mając dwie dowolne gęstości, co można powiedzieć o \(\displaystyle{ a,b}\). Szukamy warunku koniecznego. Wystarczający (jaki sformułowaliśmy) jest trywialny

[tito1977]

dziekuje

mysle ze tutaj w zadaniu chodzi o dowolne funkcje gestosci wiec mysle ze to konczy nasze rozwazania