Proces Wienera jest procesem gaussowskim

[PiotrowskiW]

Udowodnić, że : Proces Wienera jest procesem gaussowskim,
bardzo proszę o przeprowadzenie dowodu.

[matmatmm]

Lemat:

Wektor losowy \(\displaystyle{ X=(X_{1},\dots,X_{n})}\) ma \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowy rozkład normalny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}^{n}\setminus\{0\}, a=(a_{1},\dots,a_{n})}\) zmienna losowa \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}a_{k}X_{k}}\) ma jednowymiarowy rozkład normalny.

Dowód, że proces Wienera jest gaussowski. Ustalmy \(\displaystyle{ 0<t_{1}< t_{2}<\dots< t_{n}, n\in\mathbb{N}}\)
Mamy sprawdzić, że wektor \(\displaystyle{ X=(W_{t_{1}},\dots,W_{t_{n}})}\) ma rozkład normalny. Skorzystamy z lematu. Ustalmy \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}^{n}\setminus\{0\}, a=(a_{1},\dots,a_{n})}\).

\(\displaystyle{ a_{1}W_{t_{1}}+\dots +a_{n}W_{t_{n}}=(a_{1}+\dots+a_{n})W_{t_{1}}+(a_{2}+\dots+ a_{n})(W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+\dots+(a_{n-1}+a_{n})(W_{t_{n-1}}-W_{t_{n-2}})+a_{n}(W_{t_{n}}-W_{t_{n-1}})}\)

Zmienne losowe \(\displaystyle{ W_{t_{1}}, W_{t_{2}}-W_{t_{1}},\dots, W_{t_{n}}-W_{t_{n-1}}}\) są niezależne i mają rozkład normalny, zatem ich kombinacja liniowa też ma rozkład normalny (w tej kombinacji liniowej co najmniej jeden współczynnik jest niezerowy).

[PiotrowskiW]

Z czego wynika:

w tej kombinacji liniowej co najmniej jeden współczynnik jest niezerowy

[matmatmm]

Gdyby
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}a_{1}+\dots+a_{n}=0 \\ \vdots \\ a_{n}=0 \end{array}\right.}\)

to byłoby \(\displaystyle{ a_{1}=\dots =a_{n}=0}\)