Proces Wienera jest martyngałem

[PiotrowskiW]

Bardzo proszę o szczegółowe rozwiązanie zadania: udowodnić, że proces wienera jest martyngałem.
Dziękuję.

[Spektralny]

Proces Wienera \(\displaystyle{ (W(t))_{t\geqslant 0}}\) jest martyngałem względem swojej naturalnej filtracji \(\displaystyle{ (\mathcal{F}_t)_{t\geqslant 0}}\). Rzeczywiście,

\(\displaystyle{ \begin{array}{lcl}\mathsf{E} [W(t+h)|\mathcal{F}_t] & = & \mathsf{E}[W(t+h)|W(t)]\\
& = & \mathsf{E}[W(t+h)-W(h)-W(t)|W(t)]\\
& = & \mathsf{E}[W(t+h)-W(h)|W(t)] + W(t)\\
& = &0 + W(t)\\
& = & W(t)\end{array},}\)

przy czym przedostatnia linia wynika z tego, że proces Wienera jest gaussowski (313248.htm).

[nowyyyy4]

\(\displaystyle{ \begin{array}{lcl} \mathsf{E}[W(t+h)|W(t)] = \mathsf{E}[W(t+h)-W(h)-W(t)|W(t)] \end{array}}\) Skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ W(t)=0}\) i \(\displaystyle{ W(h)=0}\)?

-- 23 paź 2013, o 15:23 --

A może być tak \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{t}= \sigma (W_s : s \le t)}\)
\(\displaystyle{ E (W_t | \mathcal{F}_s) = E (W_t | W_s)= E(W_t- W_s+ W_s)|W_s) = E(W_t - W_s| W_s)+ E(W_s | W_s)= 0+ W_s= W_s}\), bo
\(\displaystyle{ E(W_t - W_s| W_s)=E(W_t - W_s| W_s - W_0)= E(W_t - W_s)=0}\), bo proces ma przyrosty niezależne?

[Spektralny]

Skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ W(t)=0}\) i \(\displaystyle{ W(h)=0}\)?

Nigdzie tego nie napisałem. W drugiej linijce powinno być \(\displaystyle{ +W(t)}\) zamiast \(\displaystyle{ -W(t)}\). Te rachunki wynikają z niezależności przyrostów.

A może być tak \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{t}= \sigma (W_s : s \le t)}\)
\(\displaystyle{ E (W_t | \mathcal{F}_s) = E (W_t | W_s)= E(W_t- W_s+ W_s)|W_s) = E(W_t - W_s| W_s)+ E(W_s | W_s)= 0+ W_s= W_s}\), bo
\(\displaystyle{ E(W_t - W_s| W_s)=E(W_t - W_s| W_s - W_0)= E(W_t - W_s)=0}\), bo proces ma przyrosty niezależne?

Tak.

[matmatmm]

Odświeżam, bo potrzebuję dokładnego rozwiązania tego zadania.
Spektralny, dlaczego napisałeś, że \(\displaystyle{ E(W(t+h)|\mathcal{F}_{t})=E(W(t+h)|W(t))}\)?
Przecież \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{t}}\) to nie jest sigma-ciało generowane przez \(\displaystyle{ W(t)}\), tylko
\(\displaystyle{ \mathcal{F}_{t}=\sigma(W(s):s\le t)}\).

[Spektralny]

Pierwsza równość wynika z faktu, że proces Wienera jest procesem Markowa (ma ), tj. tylko teraźniejsze \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało ma znaczenie.

[matmatmm]

A w jaki sposób ta przedostatnia linijka wynika z tego, że proces Wienera jest gaussowski? Według mnie wynika to z tego, co napisał novyyy4.