średnia, mediana i asymetria

[mrowcia92]

Wyniki badania empirycznego pensjonariuszy turnusu rehabilitacyjnego dostarczyły następujących informacji o poziomie wydatków na słodycze:
- cała grupa pensjonariuszy, licząca 120 osób, wydała łącznie 3240 zł,
- najczęściej zaobserwowany poziom wydatków był o 20% wyższy od średniego poziomu.
- długość typowego przedziału wydatków na słodycze stanowiła 20% ich poziomu przeciętnego

Pytania:
a) Ile średnio biorąc wydał na słodycze jeden pensjonariusz tego turnusu?
b) O czym świadczy rozbieżność między średnim poziomem wydatków oraz poziomem dominującym?
c) Ile co najmniej na słodycze wydawała połowa pendjonariuszy turnusu?

Średnia arytmetyczna wyszła mi 27. Następnia myslałam, że dominanta będzie równa 20% + średnia aryt. ale coś mi się nie zgadza. W c) domyślam się że chodzi o medianę, ale nie wiem jak to wyliczyć

[mmoonniiaa]

a) Średnią dobrze policzyłaś.
b) Dominanty co prawda nie trzeba liczyć, ale skoro chcesz to: \(\displaystyle{ D=27+20 \% \cdot 27=27+5,4=32,4}\)
Do stwierdzenia, czy rozkład jest lewoskośny czy prawoskośny wystarczy informacja, że dominanta jest większa od średniej.
c) Masz rację, że chodzi o medianę. Z informacji w trzecim punkcie można obliczyć długość (rozpiętość) przedziału. Pozycję mediany też da radę obliczyć. Na pewno nie ma już żadnych dodatkowych danych?

[mrowcia92]

Właśnie dlatego chciałam policzyć dominantę (a myślałam że to będzie 0,2 + średnia) żeby wyliczyć medianę przekształcając wzór równość Pearsona. I już wyszło Me= 28,8.
Ale mam jeszcze jedno pytanie jak nie mam więcej danych to jak stwierdzić czy jest to silna czy słaba asymetria, wiadomo ze jest lewostronna
Dzięki za pomoc

[mmoonniiaa]

Oblicz współczynnik skośności korzystając z wyliczonej średniej i mediany lub dominanty. Odchylenie standardowe będziesz miała z informacji w punkcie trzecim.
W razie czego, pytaj.
I jeszcze tak z ciekawości zapytam, o jaki wzór "równość Pearsona" Ci chodzi?

[mrowcia92]

Czyli \(\displaystyle{ S(x)=20\% \cdot 27=5,4}\) więc \(\displaystyle{ As= \frac{27-32,4}{5,4}=-1}\) Jest to zatem bardzo silna asymetria lewostronna. Dobrze?

A ten wzór na równość Pearsona to: \(\displaystyle{ srednia x= \frac{3Me-D}{2}}\)

[mmoonniiaa]

Typowy przedział to: \(\displaystyle{ \left[ \overline{x}-S;\overline{x}+S\right]}\), czyli odchylanie się o \(\displaystyle{ \pm S}\) od średniej. Ten przedział ma długość \(\displaystyle{ 5,4}\), czyli tak powinnaś wyliczyć odchylenie:
\(\displaystyle{ 2S=5,4 \Leftrightarrow S=2,7}\)
Równość Pearsona jest prawdziwa dla umiarkowanej skośności.

[mrowcia92]

Ale coś jest nie tak, bo skoro \(\displaystyle{ S(x)=2,7}\) to \(\displaystyle{ As=-2}\) a to jest niemożliwe

[mmoonniiaa]

No faktycznie. Chyba mam jakieś zaćmienie, bo błędu nie widzę.

[mrowcia92]

Hm \(\displaystyle{ x - S(x) = 20 \% \cdot x}\) to byloby \(\displaystyle{ S(x) = 21,6}\) \(\displaystyle{ As= \frac{27-32,4}{21,6} -0,25}\) Ale w odpowiedzi jest asymetria silna lewostronna a to jest slaba

[mmoonniiaa]

Zakładając, że średnia i dominanta są dobrze policzone, to żeby asymetria była silna, typowy przedział musiałby stanowić od \(\displaystyle{ 40\%}\) do \(\displaystyle{ 50\%}\) średniej, a nie \(\displaystyle{ 20\%}\).
Naprawdę nie wiem, gdzie jest błąd.