Własność średniej arytmetycznej

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
MakCis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1023
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 15 razy

Własność średniej arytmetycznej

Post autor: MakCis »

Niech \(\displaystyle{ x_1,...,x_n}\) będą liczbami rzeczywistymi a \(\displaystyle{ \overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + ...+ x_n}{n}}\) ich srednia arytmetyczna. Wtedy

\(\displaystyle{ min_a \sum_{i=1}^n (x_i -a)^2 = \sum_{i=1}^n (x_i -\overline{x})}\)

Trzeba wyjść od tego, że

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n (x_i -a)^2 = \sum_{i=1}^n ((x_i-\overline{x})+(\overline{x} -a))^2 = \sum_{i=1}^n (x_i -\overline{x})^2 + 2 \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})(\overline{x}-a) + \sum_{i=1}^n (\overline{x} -a)^2}\)

Środkowy wyraz w ostatniej równości powinien się wyzerować. Dlaczego?
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Własność średniej arytmetycznej

Post autor: Kartezjusz »

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} (x_{i}- \overline{x})( \overline{x}-a)}\)Zauważ,że drugi czynnik tego iloczynu nie zależy od \(\displaystyle{ i}\) i możemy wyłączyć przed nawias
Mamy \(\displaystyle{ (\overline{x}-a) \sum_{i=1}^{n} (x_{i}- \overline{x})}\) teraz jest już łatwiej.
MakCis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1023
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 15 razy

Własność średniej arytmetycznej

Post autor: MakCis »

To widzę, ale dlaczego to sie zeruje - nie za bardzo...
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Własność średniej arytmetycznej

Post autor: Kartezjusz »

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}( \overline{x} -x_{i})=(\overline{x}-x_{1})+( \overline{x}-x_{2})+...+(\overline{x}-x_{n})=n \overline{x} - \sum_{i=1}^{n} x_{i}}\) a z definicji średniej arytmetycznej mamy co chcemy.
ODPOWIEDZ