Rodzina rozkładów wykładniczych i wariancja

[MakCis]

1. Niech \(\displaystyle{ X_1, ...,X_n}\) będzie próbą losową z populacji o rozkładzie Bernoulliego z parametrem \(\displaystyle{ p}\). Wykaż, że rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X_1}\) należy do rodziny rozkładów wykładniczych. Rozpatrzmy statystykę \(\displaystyle{ T(X_1, ...,X_n) = X_1 + X_2 + ... + X_n}\). Pokaz, ze rozkład statystyki \(\displaystyle{ T}\) należy do rodziny rozkładów wykładniczych.

2. Niech \(\displaystyle{ X_1, ...,X_n}\) będzie próbą losową. Zdefiniujmy statystykę \(\displaystyle{ S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2}\) gdzie \(\displaystyle{ \overline{X}}\) jest srednią z próby. Policz wartość oczekiwaną statystyki \(\displaystyle{ S^2}\). Następnie pokazać, że \(\displaystyle{ S_{n+1}^2 = (n-1)S_n^2 + \frac{n}{n+1} (X_{n+1}-\overline{X})^2}\).

Będę bardzo wdzięczny za pomoc.

[miodzio1988]

1. Jak ta rodzina wygląda?

2. Podnieś do kwadratu najpierw

[MakCis]

1. Wyczytałem, że tak: \(\displaystyle{ p(x) = e^{\sum_{j=1}^k c_j(\theta) T_j(x) - b(\theta) } h(x)}\)

2. Podniosłem, ale nie wiem co mi to daje.

[miodzio1988]

2. Pełna treść? Nie ma podanego z jakiego rozkładu jest próbka?

[MakCis]

Nie ma. Jest wskazówka aby skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ E(X_i - \overline{X})^2 = E((X_i-m)+(m-\overline{X})^2}\) igdzieś tam powinno wyskoczyć \(\displaystyle{ \sigma^2}\) + cos stałego

[miodzio1988]

Ale skąd ta sigma ma być jak nie masz z jakiego rozkładu jest próbka?

[MakCis]

No to może zostawmy tę pierwszą część drugiego zadania i zróbmy pierwsze i drugą część z drugiego.