Wartość Oczekiwana

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
Lansiarz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 134
Rejestracja: 7 mar 2010, o 10:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 7 razy

Wartość Oczekiwana

Post autor: Lansiarz »

Obliczyć wartość oczekiwną zmiennej losowej X o dystrybuancie :

F(x) = \(\displaystyle{ \begin{cases}
0 \ dla \ x<-1 \\
1-0,5 x ^{2} \ dla -1 \le x<0 \\
1 \ dla \ x \ge 0 \\
\end{cases}}\)


Rozwiązanie :

Liczę pochodną z dystrybuanty by otrzymać gęstość,którą scałkuję i otrzymam \(\displaystyle{ EX}\).

f(x)= \(\displaystyle{ \begin{cases}
0 \ dla \ x<-1 \\
-x \ dla -1 \le x<0 \\
\end{cases}}\)


\(\displaystyle{ EX = \int_{- \infty }^{ \infty } xf(x)dx}\)

\(\displaystyle{ EX = \int_{- \infty }^{-1} 0xdx + \int_{-1}^{0} -x ^{2} dx= 0 + (- \frac{1}{3} ) = - \frac{1}{3}}\)

A odp. mam,że powinno wyjść \(\displaystyle{ - \frac{5}{6}}\). Gdzie mam błąd ?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Wartość Oczekiwana

Post autor: norwimaj »

Nie uwzględniasz, że jest atom w punkcie \(\displaystyle{ -1}\). Zauważ, że jak odcałkujesz obliczoną przez Ciebie gęstość, to otrzymasz \(\displaystyle{ \frac12}\) a nie \(\displaystyle{ 1}\).
Lansiarz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 134
Rejestracja: 7 mar 2010, o 10:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 7 razy

Wartość Oczekiwana

Post autor: Lansiarz »

To znaczy,że źle wyliczyłem pochodną z dystrybuanty ?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Wartość Oczekiwana

Post autor: norwimaj »

Jeśli chcesz to robić według schematu, że liczysz pochodną z dystrybuanty, mnożysz przez \(\displaystyle{ x}\) i odcałkowujesz, to niech to będzie słaba pochodna.

\(\displaystyle{ F'(x)=-x\cdot\chi_{(-1,0)}(x)+\frac12\delta(x+1)}\).
Lansiarz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 134
Rejestracja: 7 mar 2010, o 10:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 7 razy

Wartość Oczekiwana

Post autor: Lansiarz »

Ja to zrobiłem tak :

\(\displaystyle{ (1-0,5x ^{2} )' = (1)' - (0,5x ^{2})' = 0-(0,5 \cdot 2x)=-x}\)
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Wartość Oczekiwana

Post autor: norwimaj »

Świetnie! A narysowałeś sobie chociaż wykres dystrybuanty i spojrzałeś, co tam jest dla \(\displaystyle{ x=-1}\)?
Lansiarz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 134
Rejestracja: 7 mar 2010, o 10:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 7 razy

Wartość Oczekiwana

Post autor: Lansiarz »

Nie potrafię rysować wykresów na podstawie dystrybuanty. Mógłbyś mi powiedzieć jaka wartość jest pod \(\displaystyle{ x=-1}\) ? Lub jakoś nauczyć rysować takowy wykres,bo taka umiejętność nie wątpliwie mogłaby mi się przydać.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Wartość Oczekiwana

Post autor: norwimaj »

Jeśli nie wiesz jak wygląda wykres funkcji \(\displaystyle{ 1-\frac12x^2}\), to niestety nie potrafię Ci pomóc. Może kto inny da radę.
ODPOWIEDZ