Prawdopodobieństwo- twierdzenia graniczne

[maarcelkaa]

Według Zarządu Transportu Publicznego jeden na dziesięciu pasażerów korzysta z komunikacji publicznej bez ważnego biletu. Wczoraj między 8.00 a 9.00 rano z komunikacji skorzystało 20 000 pasażerów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wczoraj między 8.00 a 9.00 1050 pasażerów lub więcej nie posiadało ważnego biletu? Z jakiego granicznego twierdzenia skorzystasz?

Byłabym niezmiernie wdzięczna za pomoc w rozwiązaniu tego zadania. Pozdrawiam.

[Adifek]

Korzystasz z Centralnego Twierdzenia Granicznego (a raczej jego szczególnego przypadku - twierdzenia De Moivre'a-Laplace'a):

\(\displaystyle{ P(X_{i}=0)= \frac{9}{10}, \quad P(X_{i}=1)=\frac{1}{10}}\)

\(\displaystyle{ P\left( 1050 \le \sum_{i=1}^{20000}X_{i}\right) =P\left( 1050 -20000 \cdot\frac{1}{10}\le \sum_{i=1}^{20000}X_{i} -20000 \cdot\frac{1}{10} \right)= \\ P\left( -950 \le \sum_{i=1}^{20000}X_{i} -20000 \cdot\frac{1}{10} \right)=
P\left( \frac{-950}{ \sqrt{20000 \cdot \frac{9}{10}\cdot \frac{1}{10} } } \le \frac {\sum_{i=1}^{20000}X_{i} -20000 \cdot\frac{1}{10} }{\sqrt{20000 \cdot \frac{9}{10}\cdot \frac{1}{10} }} \right)=
P\left( \frac{-950}{ 30 \sqrt{2 } } \le \frac {\sum_{i=1}^{20000}X_{i} -20000 \cdot\frac{1}{10} }{30\sqrt{2}} \right) \approx 1-\Phi \left( \frac{-950}{ 30 \sqrt{2 } } \right)}\)

(o ile się nie pomyliłem, co jest bardzo prawdopodobne )

[maarcelkaa]

doszłam do podonych wniosków, ale wynik wychodzi -22.39 co chyba jest nieprawdopodobne, jeśli mamy korzystać z dystrybutanty rozkładu normalnego?

[Adifek]

Wg mnie to jest prawdopodobne:

\(\displaystyle{ \Phi \left( \frac{-950}{ 30 \sqrt{2 } } \right) \approx 0}\)

a więc

\(\displaystyle{ 1-\Phi \left( \frac{-950}{ 30 \sqrt{2 } } \right) \approx 1}\)

Czyli wychodzi, że prawie na pewno 1050 lub więcej pasażerów było gapowiczami. Jest to zgodne z intuicją, bo skoro średnio co dziesiąty jest gapowiczem, to wśród 20000 powinno być około 2000 tych gapowiczów, czyli zdecydowanie więcej niż 1050.

[maarcelkaa]

ok, dziękuję Ci bardzo! )