średnia ważona

[Gwynbleiddss]

W pewnej szkole dziewczęta stanowią 40% wszystkich uczniów. Po pierwszym semestrze średnia ocen dziewcząt i chłopców była jednakowa. Na koniec roku średnia ocen dziewcząt wzrosła o 1,2, a mimo to średnia ocen całej szkoły nie zmieniła się. O ile zmniejszyła się średnia ocen chłopców w drugim semestrze?

Z góry dodam, że to zadanie próbowałem rozwiązać zarówno sam, jak i z matematykiem, więc proszę o pełne rozwiązanie. Książkowa odpowiedź wynosi 0,8.

[Mistrz]

Oznaczmy: \(\displaystyle{ n}\) - liczba wszystkich uczniów, \(\displaystyle{ S_c, S_d}\) - suma ocen chłopców i dziewczynek odpowiednio, w pierwszym semestrze. Mamy "Po pierwszym semestrze średnia ocen dziewcząt i chłopców była jednakowa" czyli \(\displaystyle{ \frac{S_c}{0.6n} = \frac{S_d}{0.4n}}\). Ponadto "średnia ocen całej szkoły nie zmieniła się" czyli zakładając że nie zmieniła się liczba uczniów mamy że suma ocen wszystkich uczniów nie zmieniła się. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ x}\) o ile wzrosła suma ocen dziewcząt na koniec roku. Wówczas suma ocen chłopców spadła również o \(\displaystyle{ x}\). Mamy \(\displaystyle{ \frac{S_d + x}{0.4n} = \frac{S_d}{0.4n} + 1.2}\), stąd wyliczamy \(\displaystyle{ x=0.48n}\). Stąd średnia ocen chłopców to \(\displaystyle{ \frac{S_c - x}{0.6n} = \frac{S_c - 0.48n}{0.6n} = \frac{S_c}{0.6n} - \frac{0.48}{0.6} = \frac{S_c}{0.6n} - 0.8}\), czyli średnia ocen chłopców na koniec roku spadła o \(\displaystyle{ 0.8}\).

Widać ponadto, że założenie "Po pierwszym semestrze średnia ocen dziewcząt i chłopców była jednakowa" było zbędne.