Cecha \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład o funkcji gęstości:
\(\displaystyle{ f(x,\alpha)=\begin{cases} \alpha x ; x\in(0, 2)\\0 ; poza\end{cases}}\)
a) Znaleźć metodą momentów estymator parametru \(\displaystyle{ \alpha}\).
b) Czy otrzymany estymator jest nieobciążony?
c) Sprawdzić efektywność otrzymanego estymatora.
Z punktem a) sobie poradziłem, wyszło:
\(\displaystyle{ \hat{\alpha}=\frac{3}{8}\overline{x}}\)
b) Tutaj mam wątpliwości.
\(\displaystyle{ E(\hat{\alpha})=\frac{3}{8}EX}\)
Czy za \(\displaystyle{ EX}\) mam wstawić \(\displaystyle{ \frac{8}{3}\alpha}\)? Taka zależność wynika stąd, że tyle właśnie wynosi pierwszy moment zwykły policzony z funkcji gęstości.
c) Tu nie wiem jak skończyć zadanie. Robię tak:
Liczę wariancję otrzymanego estymatora:
\(\displaystyle{ D^{2}(\hat{\alpha})=\frac{9D^{2}(\overline{x})}{64}=\frac{9nD^{2}X}{64n^{2}}=\frac{9D^{2}X}{64n}}\)
Następnie korzystam ze wzoru na wariancję estymatora najefektywniejszego (z nierówności Rao-Crammera). Liczę pochodną funkcji gęstości po \(\displaystyle{ \alpha}\), wstawiam to w wartość oczekiwaną, i dochodzę, do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ E(\frac{1}{\alpha})^{2}=E(\frac{1}{\alpha^{2}})}\)
Dalej nie wiem jak to ruszyć...
Proszę o pomoc przy podpunktach b) i c) oraz w zadaniu z mojego poprzedniego tematu w tym dziale (ktoś zaczął, ale zrezygnował z dalszej pomocy...).