Estymacja punktowa

[bojawiem]

Treść:

Cecha X populacji ma rozkład zero - jedynkowy

\(\displaystyle{ P(X=1) = p; P(X=0) = 1-p}\)
\(\displaystyle{ (0 < p < 1)}\)

Metodą największej wiarygodności znaleźć estymator parametru \(\displaystyle{ p}\)

Kompletnie nie mam pojęcia jak do tego się zabrać wynik powinien wynieść \(\displaystyle{ W = \frac{Y _{n} }{n}}\) Proszę chociaż o jakieś wskazówki

[janusz47]

Funkcja wiarygodności
\(\displaystyle{ L(\theta) = \theta^{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}( 1 - \theta)^{n -\sum_{i=1}^{n} x_{i}} = \theta^{y}( 1 - \theta )^{n - y},}\)
\(\displaystyle{ 0 \leq y \leq \sum_{i=1}^{n} x_{i} \leq n.}\)
Proszę zauważyć, że gdy \(\displaystyle{ y = 0}\) funkcja \(\displaystyle{ L}\) jest malejąca i osiąga kres górny w punkcie \(\displaystyle{ \theta = 0.}\).
W przypadku, gdy \(\displaystyle{ y = n}\) funkcja \(\displaystyle{ L}\) jest rosnąca i osiaga kres górny w punkcie \(\displaystyle{ \theta =1.}\)
Znajdziemy jej maksimum, gdy \(\displaystyle{ 0 < y < n .}\)
\(\displaystyle{ \ln(L) = y\ln(\theta) + (n- y)\ln(1 - \theta).}\)
\(\displaystyle{ \Bigl( \ln \bigl( L(\theta) \bigr) \Bigr)' = \frac{1}{\theta}y - \frac{1}{1- \theta}(n-y) = 0.}\)
Rozwiązaniem równania jest
\(\displaystyle{ \theta^{*} = \frac{1}{n}y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}.}\)
\(\displaystyle{ \Bigl( \ln \bigl( L ( \theta ) \bigr) \Bigr)^{(2)}_{\theta = \theta^{*}} = \frac{-n^{3}}{y(n-y)} < 0.}\)
Funkcja \(\displaystyle{ L}\) osiąga w punkcie \(\displaystyle{ \theta{*} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}}\) maksimum lokalne.
Stąd
\(\displaystyle{ \Theta^{*}(X_{1}, X_{2},..., X_{n}) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i} = \overline{X}}\) jest estymatorem największej wiarygodności parametru \(\displaystyle{ \theta = p, \ ( ENW(p).}\)