Gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y) dana jest wzorem:
\(\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases} a , -1<x<0, -x<y<x+2\\0 , poza\end{cases}}\)
a) Wyznaczyć stałą a.
b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe.
Stałą a wyznaczyłem (\(\displaystyle{ a=1}\)). Problem mam z rozkładami brzegowymi. Znam wzór, ale nie uzyskuję prawidłowych odpowiedzi dla \(\displaystyle{ f_{y}(y)}\)...
Rozkłady brzegowe
-
Jacek_Karwatka
- Użytkownik
- Posty: 351
- Rejestracja: 2 maja 2012, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 94 razy
Rozkłady brzegowe
Według moich wyliczeń:
\(\displaystyle{ f _{y}(y)= \begin{cases} y \ dla \ y \in <0,1> \\ 2-y \ dla \ y \in <1,2> \\ 0 \ poza \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ f _{x}(x)= \begin{cases} 2x+2 \ dla \ x \in <-1,0> \\ 0 \ poza \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ f _{y}(y)= \begin{cases} y \ dla \ y \in <0,1> \\ 2-y \ dla \ y \in <1,2> \\ 0 \ poza \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ f _{x}(x)= \begin{cases} 2x+2 \ dla \ x \in <-1,0> \\ 0 \ poza \end{cases}}\)
-
Whiten
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 26 mar 2011, o 13:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: o tam
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 3 razy
Rozkłady brzegowe
Ok, a czy mógłbyś mi rozpisać krok po kroku \(\displaystyle{ f_{y}(y)}\)? Tzn. już bez rachunków, ale co liczyłeś, na jakich przedziałach i dlaczego?
PS: Twoja odpowiedź się zgadza.
PS: Twoja odpowiedź się zgadza.
-
Jacek_Karwatka
- Użytkownik
- Posty: 351
- Rejestracja: 2 maja 2012, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 94 razy
Rozkłady brzegowe
Rozkład jest stały w obszarze o kształcie trójkąta o wierzchołkach (0,0), (0,2), (-1,1). Pole jego jest 1 stąd a=1.
Aby policzyć rozkład brzegowy po x, trzeba dla zadanego x zsumować (scałkować) y po tym obszarze.
dla \(\displaystyle{ x \in <-1,0>}\) granice obszaru trójkąta są -x i x+2.
stąd:
\(\displaystyle{ p(x)= \int_{-x}^{x+2}p(x,y)dy=\int_{-x}^{x+2}1dy=2x+2}\)
podobnie dla y. Granice obszaru to x=-y i 0 dla \(\displaystyle{ y \in <0,1>}\) oraz x=y-2 i 0 dla \(\displaystyle{ y \in <1, 2>}\)
stąd
\(\displaystyle{ p(y)= \int_{-y}^{0}p(x,y)dx= \int_{-y}^{0}1dx=y}\) dla \(\displaystyle{ y \in <0,1>}\)
\(\displaystyle{ p(y)= \int_{y-2}^{0}p(x,y)dx= \int_{y-2}^{0}1dx=2-y}\) dla \(\displaystyle{ y \in <1,2>}\)
Aby policzyć rozkład brzegowy po x, trzeba dla zadanego x zsumować (scałkować) y po tym obszarze.
dla \(\displaystyle{ x \in <-1,0>}\) granice obszaru trójkąta są -x i x+2.
stąd:
\(\displaystyle{ p(x)= \int_{-x}^{x+2}p(x,y)dy=\int_{-x}^{x+2}1dy=2x+2}\)
podobnie dla y. Granice obszaru to x=-y i 0 dla \(\displaystyle{ y \in <0,1>}\) oraz x=y-2 i 0 dla \(\displaystyle{ y \in <1, 2>}\)
stąd
\(\displaystyle{ p(y)= \int_{-y}^{0}p(x,y)dx= \int_{-y}^{0}1dx=y}\) dla \(\displaystyle{ y \in <0,1>}\)
\(\displaystyle{ p(y)= \int_{y-2}^{0}p(x,y)dx= \int_{y-2}^{0}1dx=2-y}\) dla \(\displaystyle{ y \in <1,2>}\)