Wyznaczanie stałej by była dystrybuantą

Lansiarz · Post autor: **Lansiarz** » 13 wrz 2012, o 23:14

Wyznacz tak stałą A,aby :

F(x)= \(\displaystyle{ \begin{cases}
0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \le 1\\
2(1- \frac{1}{x} ) \ \ \ 1<x \le A\\
1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x>A \\
\end{cases}}\)

była dystrybuantą zmiennej losowej X. Oblicz EX i \(\displaystyle{ P(-1 \le X<1,5)}\) korzystając z funkcji gęstości i dystrybuanty.

Rozwiązanie :

Od początku wyznaczam stałą A. Czy to ma coś wspólnego z tymi 4 warunkami,które muszą być spełnione by zaistniała dystrybuanta ?
1. F(x) jest niemalejąca.
2. F(x) jest prawostronnie ciągła.
3. \(\displaystyle{ \lim_{ x\to- \infty } F(x)=0}\)
4. \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } F(x)=1}\)

Jakieś podpowiedzi ?

scyth · Post autor: **scyth** » 13 wrz 2012, o 23:16

\(\displaystyle{ F(A)=1}\)

Lansiarz · Post autor: **Lansiarz** » 13 wrz 2012, o 23:23

A skąd to dlaczego tak ? To jest już odpowiedź ? A=1 ?

scyth · Post autor: **scyth** » 13 wrz 2012, o 23:34

Coś źle policzyłeś. Masz wypisane podpunkty, w zasadzie tylko jeden z nich masz dopełnić.

Lansiarz · Post autor: **Lansiarz** » 13 wrz 2012, o 23:43

Podpunkt 4 dopełnić mam. A =1,5 ?

scyth · Post autor: **scyth** » 13 wrz 2012, o 23:45

Punkt 4 jest załatwiony trzecią wartością \(\displaystyle{ F}\), brakuje ciągłości. Musi być \(\displaystyle{ A=2}\).

Lansiarz · Post autor: **Lansiarz** » 13 wrz 2012, o 23:51

Oh dziękuję. Aby obliczyć EX z podanej dystrybuanty. To skorzystać ze wzoru :

\(\displaystyle{ EX= \sum_{n}^{i=1} x _{i} p _{i}}\)
\(\displaystyle{ EX = \int_{- \infty }^{ \infty } x f(x) dx}\)

W zależności czy jest ona ciągła czy skokowa,a tego właśnie nie wiem.Hmm...

scyth · Post autor: **scyth** » 13 wrz 2012, o 23:53

Mam wrażenie, że mylisz dystrybuantę z gęstością rozkładu.

Lansiarz · Post autor: **Lansiarz** » 14 wrz 2012, o 00:05

Funkcja f(x) jest gęstością zmiennej losowej wtedy i tylko wtedy gdy:

1. \(\displaystyle{ f(x) \ge 0 \ \ dla kazdego \ x \in R}\)
2. \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } f(x)dx=1}\)

A dystrybuante wypisałem wyżej.Dlaczego je mylę ?

scyth · Post autor: **scyth** » 14 wrz 2012, o 00:06

Aby obliczyć wartość oczekiwaną musisz scałkować gęstość, nie dystrybuantę.

Lansiarz · Post autor: **Lansiarz** » 14 wrz 2012, o 00:19

A granice całkowania to z tą 2 ? Chyba nie bo wtedy to nie jest gęstość,a dystrybuanta.Wobec tego jakie będą granice całkowania ?

Bo jeżeli jednak z tą 2 to będzie tak
\(\displaystyle{ EX \int_{- \infty }^{1} x0dx + \int_{1}^{2} x(2(1- \frac{1}{x} ))dx + \int_{2}^{ \infty } xdx= 1}\)

scyth · Post autor: **scyth** » 14 wrz 2012, o 00:26

Masz dystrybuantę i granice - jaka jest gęstość?

Lansiarz · Post autor: **Lansiarz** » 14 wrz 2012, o 00:34

Tak na chłopski rozum to z A=2 mam dystrybuantę i jej granicę. I teraz muszę podstawić za A taką wartość by otrzymać funkcję gęstości ?

scyth · Post autor: **scyth** » 14 wrz 2012, o 00:42

Gęstość to pochodna z dystrybuanty.

Lansiarz · Post autor: **Lansiarz** » 14 wrz 2012, o 13:05

Dystrybuanta :

F(x)=\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \le 1\\ 2(1- \frac{1}{x} ) \ \ \ 1<x \le 2\\ 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x>2 \\ \end{cases}}\)

Gęstość :

f(x)= \(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \le 1 \ (poniewaz \ pochodna z 0 to 0 więc tak zostaje ?)\\
\frac{2}{x ^{2} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1<x \le 2 \\

\end{cases}}\)

Dobrze?