Wyznaczanie stałej by była dystrybuantą

[scyth]

Dobrze. To teraz wartością oczekiwaną będzie jaka całka?

[Lansiarz]

\(\displaystyle{ EX \int_{- \infty }^{2} x0dx + \int_{1}^{2} \frac{2}{x ^{2} } = 0 + 1 =1}\)

[scyth]

Prawie dobrze (całkę z zera pomijam):
\(\displaystyle{ E(X) = \int\limits_1^2 x \cdot \frac{2}{x^2} dx}\)

[Lansiarz]

Oh pewnie pominąłem tego x po drodze.Więc :

\(\displaystyle{ EX = \frac{1}{2}}\)

I ostatnia rzecz to :

\(\displaystyle{ P(-1 \le X<1,5)}\) korzystając z f.gęstości i z dystrybuanty.

Jak to ugryźć ?

[scyth]

1. Źle policzyłeś wartość oczekiwaną.
2. \(\displaystyle{ P(a<X<b) = F(b) - F(a)}\)

[Lansiarz]

1. Źle policzyłeś wartość oczekiwaną.

\(\displaystyle{ EX = 1.38629}\)

Teraz dobrze ?

2. \(\displaystyle{ P(a<X<b) = F(b) - F(a)}\)

Korzystając z dystrybuanty to będzie :

\(\displaystyle{ F(1,5)-F(-1)=0,8-0 \approx 0,8}\)

Korzystając z gęstości :

\(\displaystyle{ F(1,5)-F(-1)=0,8-0 \approx 0,8}\)

Dwa takie same wyniki hm dobrze teraz wszystko ?

[scyth]

Wartość oczekiwana dobrze.
Ale jak ty liczysz prawdopodobieństwo z gęstości?! Z dystrybuanty dobrze policzyłeś, bierzesz dwa punkty i w nich wartości. Jak chcesz liczyć gęstością to musisz policzyć całkę:
\(\displaystyle{ P(a<X<b) = \int\limits_a^b f(x) dx}\)

[Lansiarz]

Czyli z gęstości będzie :

\(\displaystyle{ P(a<X<b) = \int\limits_a^b f(x) dx}\)

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1,5} \frac{2}{x ^{2} } dx =}\)

Tak ? Taka całka nie istnieje.

[scyth]

Dlaczego nie istenieje? Zauważ, że musisz gęstość rozbić na dwie całki:
\(\displaystyle{ P(-1<X<1,5) = \int\limits_{-1}^1 0 dx + \int\limits_1^{1,5} \frac{2}{x^2} dx}\)
Pytanie tylko - po co to liczyć, skoro policzyłeś już z dystrybuanty?

[Lansiarz]

Dlaczego nie istenieje? Zauważ, że musisz gęstość rozbić na dwie całki:
\(\displaystyle{ P(-1<X<1,5) = \int\limits_{-1}^1 0 dx + \int\limits_1^{1,5} \frac{2}{x^2} dx}\)
Pytanie tylko - po co to liczyć, skoro policzyłeś już z dystrybuanty?

Tak na przyszłość warto też umieć z samej gęstości wyliczyć.

\(\displaystyle{ P(-1<X<1,5) = \int\limits_{-1}^1 0 dx + \int\limits_1^{1,5} \frac{2}{x^2} dx \approx 0+0,7 \approx 0,7}\)

Z gęstości nie powinno wyjść takie same prawd. jak z dystrybuanty ? Niby różni się tylko o 0.1,ale zawsze.

[scyth]

Powinno wyjść to samo. Nie zaokrąglaj jak nie musisz. Wychodzi w obu przypadkach \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\).

[Lansiarz]

Okej wszystko rozumiem. Wielkie dzięki !!!