Przedział ufności

[Lansiarz]

W celu oszacowania rozrzutu jednostkowego kosztu produkcji kół zębatych.Produkowanych przez różne zakłady wylosowano niezależnie od próby 80 zakładów produkcyjnych otrzymano następujące wyniki tego kosztu w zł.
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{rcl}
Koszt Jednostki : & Liczba Zakładów :\\

20-40 & 10\\
40-60 & 16\\
60-80 & 24\\
80-100 & 18\\
100-120 & 12\\
\end{tabular}}\)

Przyjmując współczynnik ufności 0,95 oszacować metodą przedziałową odchylenie standardowe jednostkowe kosztu produkcji tych kół.

Rozwiązanie :

\(\displaystyle{ \alpha = 0,95 \\
1- \alpha \\
1 - 0,95=0,05\\}\)

Próba jest o dużej liczebności \(\displaystyle{ n>30}\),dlatego wybieram następujący wzór z którego wyznaczę przedział :

\(\displaystyle{ \frac{s}{1+ \frac{u_{ \alpha}}{ \sqrt{2n}}}< \sigma <\frac{s}{1- \frac{u_{ \alpha}}{ \sqrt{2n}}}}\)

Ale,żeby najpierw podstawić muszę wyliczyć sobie S ze wzoru

\(\displaystyle{ S= \sqrt{ \frac{1}{n} \sum_{n}^{i=1} (x _{i}-\overline{x} ) ^{2} }}\)

I teraz wiem,że \(\displaystyle{ n=80}\),a skąd mam wziąć \(\displaystyle{ x _{i}}\) i tą wartość średnią \(\displaystyle{ \overline{x}}\) to mam wyliczyć z kosztów jednostki czy z Liczby zakładów ?

Ogólnie dobrze kombinuję ?

[szw1710]

\(\displaystyle{ x_i}\) to środki przedziałów klasowych. Ponadto mamy odchylenie standardowe z próby, więc we wzorze na \(\displaystyle{ S}\) będzie \(\displaystyle{ \frac{1}{n-1}.}\)

Skąd masz ten wzór na końce przedziału? Ja znam inny, z rozkładem chi-kwadrat.

[Lansiarz]

Skąd masz ten wzór na końce przedziału? Ja znam inny, z rozkładem chi-kwadrat.

Wzór mam z tabeli : Modele przedziałów ufności dla wariancji i odchylenia standarowego (model II) z książki Wybrane Metody Wnioskowania Statystycznego D.Bobrowski i K. Maćkowiak-Łybkacka.
Nie jest on złym wzorem chyba ? Wydaję mi się prosty do podstawienia.

\(\displaystyle{ x_i}\) to środki przedziałów klasowych. Ponadto mamy odchylenie standardowe z próby, więc we wzorze na \(\displaystyle{ S}\) będzie \(\displaystyle{ \frac{1}{n-1}.}\)

Więc w moim wzorze zamiast \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) zmienić na \(\displaystyle{ \frac{1}{n-1}}\)?

[szw1710]

Czyli była Pani Minister

Bobrowskiego widziałem 20 lat temu na konferencji w Krynicy - mojej pierwszej w karierze. Właśnie dowiedziałem się z Internetu, że zmarł 31.08.2012. Parę dni temu. RiP

We wzorze na \(\displaystyle{ S}\) możesz zmienić, możesz nie zmieniać. Jedni stosują \(\displaystyle{ n,}\) inni \(\displaystyle{ n-1.}\) Przy licznych próbach ma to drugorzędne znaczenie. Policz i tak, i tak i zobacz na wyniki, aby się przekonać.

Co do wzoru, to go nie znam. Musiałbym spojrzeć na wyprowadzenie - jakie są przesłanki do jego otrzymania. Czasem metody statystyczne konstruuje się pod jedno konkretne zagadnienie. Nie mówię, że tu tak jest. Jednak podręczniki, które znam, podają inny wzór. Ale nieważne - pewnie ktoś to recenzował, więc powinien być dobry. Mało to przekonujące, ale nic więcej nie umiem powiedzieć

EDIT Wzór jest na naszym Forum z odwołaniem do innego podręcznika!!! 39346.htm

Dobrej nocy!

[Lansiarz]

\(\displaystyle{ S= \sqrt{ \frac{1}{80} (30-) ^{2} (50-)^{2}(70-)^{2}(90-)^{2}(110-)^{2} }}\)

Brakuję mi tej wartości \(\displaystyle{ \overline{x}}\) nie wiem. Jak mam wyliczyć z każdego przedziału,np 20-40 i 10 zakładów średnią ? Hmm...

[szw1710]

W klasie 20-40 zakładasz, że wszyscy mają wartość cechy 30. W tym momencie traktujesz cechę jak skokową, a szereg będzie punktowy. W czym problem? Powtórzę: zakładasz (popełniając świadomie pewien błąd), że koszty 30 ma 10 zakładów. Itd.

[Lansiarz]

\(\displaystyle{ S= \sqrt{ \frac{1}{80} (30-10) ^{2}+ (50-16)^{2}+(70-24)^{2}+(90-18)^{2}+(110-12)^{2} }=\\ \sqrt{ \frac{1}{80}(400+256+576+5184+9604 }=2002,5}\)

Teraz podstawię sobie pod ten wzór :

\(\displaystyle{ \frac{s}{1+ \frac{u_{ \alpha}}{ \sqrt{2n}}}< \sigma <\frac{s}{1- \frac{u_{ \alpha}}{ \sqrt{2n}}}}\)


Tylko nie wiem czy dobrze odczytam z tabeli wartość \(\displaystyle{ u _{ \alpha }}\) odczytam tą wartość z tej tabeli co jest na forum podane images/abrasax/rozklad_normalny.gif

\(\displaystyle{ \left[ \frac{2002,5}{1+ \frac{0,8289}{ \sqrt{2} \cdot 80}}};\frac{2002,5}{1- \frac{0,8289}{ \sqrt{2} \cdot 80}}}\right]=\left[ 1206,3 ; 5889,8\right]}\)

Taki przedział mi wyszedł,ale jest to bzdura chyba.

[szw1710]

Masz rację Miłosierny jestem - na R Ci zaraz przeliczę. Uczę się tego pakietu, więc i sam mam w tym pewien interes.

Wykonaj następujący skrypt:

Kod: Zaznacz cały

dane=c(rep(30,10),rep(50,16),rep(70,24),rep(90,18),rep(110,12))
poziom_ufnosci=0.95
alfa=1-poziom_ufnosci
u=qnorm(1-alfa/2)
s=sd(dane)
n=length(dane)
data.frame(row.names='Przedział ufności',Początek=s/(1+u/sqrt(2*n)),Koniec=s/(1-u/sqrt(2*n)))

W wyniku jego działania otrzymamy następujący wydruk:

Kod: Zaznacz cały

                  Początek   Koniec
Przedział ufności 21.47985 29.35695

Odchylenie standardowe jest policzone z \(\displaystyle{ n-1}\) w mianowniku.

I dla kontroli:

Średnia: \(\displaystyle{ 71.5}\)
Wariancja: \(\displaystyle{ 615.443}\)
Odchylenie standardowe: \(\displaystyle{ 24.80812}\)
Kwantyl \(\displaystyle{ u_{\alpha}=u_{0.05}=1.959964}\)

Wszystko policzone na R.

Bzdurne wyniki wychodzą, bo w dalszym ciągu masz problem z wyliczeniem średniej z tego szeregu. Mówiłem Ci już ze dwa razy, jak się ją liczy. A teraz kombinuj, bo widzisz, ile ma wyjść. Nie policzę Ci sam, bo licząc własnoręcznie więcej się nauczysz.

[Lansiarz]

Bzdurne wyniki wychodzą, bo w dalszym ciągu masz problem z wyliczeniem średniej z tego szeregu.

Poszerzyłem swoją wiedzę na temat szeregów. Szereg w moim zadaniu jest Szeregiem rozdzielczym przedziałowym,dla którego wzór na średnią wygląda następująco :

\(\displaystyle{ \overline{x}= \frac{ \sum_{}^{}\stackrel{.}{x _{i}} n _{i} }{n}}\)

\(\displaystyle{ \stackrel{.}{x _{i}}}\) - środki przedziałów

Nowa kolumne stworzę sobie :

\(\displaystyle{ \stackrel{.}{x _{i}} n _{i}\\}\)


\(\displaystyle{ 30 \cdot 10= 300\\
50 \cdot16= 800\\
70 \cdot24= 1680\\
90 \cdot18= 1620\\
110 \cdot12= 1320\\}\)

Dane :
\(\displaystyle{ n=80 \\}\)
\(\displaystyle{ \sum_{}^{}\stackrel{.}{x _{i}} n _{i}=5720}\)

\(\displaystyle{ \overline{x}= \frac{5720}{80}=71,5}\)

Wyliczyć mogę S,jak mam dobrze średnią,więc :

\(\displaystyle{ S= \sqrt{ \frac{1}{80} (30-71,5) ^{2} (50-71,5)^{2}(70-71,5)^{2}(90-71,5)^{2}(110-71,5)^{2} }= 501,4\\}\)

Teraz podstawię sobie pod ten \(\displaystyle{ \red wzor\zmieniam\go \na\ ten\ ze\ swojej\ tabeli\ z\ ksiazki \end}\),a wygląda on tak :

\(\displaystyle{ \frac{s}{1+ \frac{u _{1- \frac{ \alpha }{2} } }{ \sqrt{2n}}}< \sigma <\frac{s}{1+ \frac{u_{ \frac{ \alpha }{2} }}{ \sqrt{2n}}}}\)

Inne kwantyle są tylko.

\(\displaystyle{ 1- \frac{ \alpha }{2} = 0,975}\)
kwantyl tego rzędu wynosi z mojej tabeli : 1,9600
\(\displaystyle{ \frac{ \alpha }{2} = 0,025}\)
kwantyl tego rzędu wynosi z mojej tabeli : -1,9600

Wychodzi mi taki przedział :

(432,2;596,9)

A licząc z tego wzoru co był wcześniej to wynik będzie wynosił :

\(\displaystyle{ \frac{s}{1+ \frac{u_{ \alpha}}{ \sqrt{2n}}}< \sigma <\frac{s}{1- \frac{u_{ \alpha}}{ \sqrt{2n}}}}\)

Wyjdzie taki sam wynik bo kwantyl,który podałeś po zaokrągleniu wyniesie tyle samo.Przedział jest zły nadal.Hmm

EDIT chyba miałem,gdzieś w mianowniku użyć \(\displaystyle{ n-1}\) we wzorze,tylko w którym? Hmm

[szw1710]

Nie ma znaczenia czy weźmiesz \(\displaystyle{ n}\) czy \(\displaystyle{ n-1}\) we wzorze na \(\displaystyle{ S}\). Teraz bierzesz inny wzór. Ale kwantyle są podobne jak w pierwszym. Ty mylisz się o rząd wielkości. Bo teraz w \(\displaystyle{ S}\) mnożysz, a tam ma być suma. Ponadto nie występują w ogóle liczebności.

Mam dla Ciebie radę. Nie obraź się, nic osobistego Widzę, że kiepsko u Ciebie z rozumieniem pojęć statystycznych (widziałem tez Twój inny temat). Zatem najpierw proponuję zrobić parę ćwiczeń na wyliczenie średniej arytmetycznej, wariancji i odchylenia standardowego z różnych szeregów statystycznych. Proponuję zacząć od szeregu szczegółowego, czyli od gołych danych (nie za dużo, 5 czy 6 danych). Potem szeregi punktowe, a następnie przedziałowe. Wiele zadań znajdziesz tu na forum, a także w zbiorach zadań do statystyki. Wspomagaj się pakietem R. Jest darmowy, zainstaluj go sobie. Zapewne masz w domu jakiś zbiór zadań. Jeśli to względnie dobrze opanujesz, wróć do tego zadania na przedział ufności.

W obliczeniach z użyciem R pomoże Ci mój skrypt, a także skrypty z Kompendium Probabilistyki zamieszczone w postach o testowaniu hipotez autorstwa naszego administratora scyth-a.

Inaczej na kolokwium wyłożysz się właśnie na przygotowaniu danych. Kwantyle umiesz czytać z tablic, wiesz też, jak obliczone wielkości podstawić do wzoru. Twoim kłopotem jest średnia arytmetyczna, wariancja i odchylenie standardowe. Najpierw naucz się je porządnie liczyć. Niestety, na szybko matematyki nie da się nauczyć.

[Lansiarz]

Wiem gdzie mam błąd.

\(\displaystyle{ S= \sqrt{ \frac{1}{80} (30-71,5) ^{2} (50-71,5)^{2}(70-71,5)^{2}(90-71,5)^{2}(110-71,5)^{2} }= 501,4\\}\)

Tu wynik muszę spierwiastkować toteż \(\displaystyle{ S \approx 22,4}\). Teraz wychodzi podobny przedział. Muszę obliczyć odchylenie jeszcze samodzielnie i będzie dobrze.

Dziękuję za rady wezmę sobie je do serca i policzę te zadanka. Dziękuje za poświęcony czas i uwagę wiele mi już ten temat wyjaśnił. Pozdrawiam