Estymator nieobciążony

[matti90]

\(\displaystyle{ X=(X_{1},...,X_{n})}\) jest próbą prostą z rodziny rozkładów \(\displaystyle{ \left\{ \mu _{\theta} \right\} _{\theta \in \Theta}, \Theta=(0, \infty )}\)
Wiemy, że nieujemna statystyka \(\displaystyle{ T_{n}(X)}\) jest nieobciążonym estymatorem parametru \(\displaystyle{ \theta}\). Czy statystyka \(\displaystyle{ S_{n}(X)= \frac{1}{T_{n}(X)}}\) jest nieobciążonym estymatorem funkcji parametrycznej g danej wzorem \(\displaystyle{ g(\theta)= \frac{1}{\theta} ,\theta \in \Theta}\)? Odpowiedź uzasadnij.
Proszę o wskazówki do zadania.

[Whiten]

Wydaję mi się, że można to zrobić tak:
Skoro \(\displaystyle{ T_{n}}\) jest nieobciążonym estymatorem \(\displaystyle{ \theta}\), to \(\displaystyle{ E(T_{n})=\theta}\), a więc \(\displaystyle{ E(S_{n})=E(\frac{1}{T_{n}})=\frac{1}{E(T_{n})}=\frac{1}{\theta}=g(\theta)}\), a więc jest nieobciążony.

[miodzio1988]

Możesz własność:

\(\displaystyle{ E(\frac{1}{T_{n}})=\frac{1}{E(T_{n})}}\)

udowodnić?

[Whiten]

\(\displaystyle{ E(\frac{1}{T_{n}})=\frac{E(1)}{E(T_{n})}}\)
Wartość oczekiwana z liczby, to liczba. Myślałem, że tak właśnie to się robi...

[miodzio1988]

Nie. Taka równość nie jest zawsze prawdziwa, więc tak nie pójdzie to