Czy estymator jest nieobciążony?

[Whiten]

Niech \(\displaystyle{ X_{1}...X_{n}}\) będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu jednostajnego \(\displaystyle{ U(0,\theta)}\). Sprawdzić, czy statystyka \(\displaystyle{ \hat{\theta}=\frac{1}{n+1}[(2n+1)X_{1:n}+nX_{n:n}]}\) jest nieobciążonym estymatorem parametru \(\displaystyle{ \theta}\), gdzie \(\displaystyle{ X_{1:n}=min\{X_{1},...,X_{n}\}}\), a \(\displaystyle{ X_{n:n}=max\{X_{1},...,X_{n}\}}\).

Problem pojawia się, gdy mam znaleźć \(\displaystyle{ E(X_{1:n})}\) i \(\displaystyle{ E(X_{n:n})}\).

O ile gdzieś w internecie znalazłem jak znaleźć wartość oczekiwaną dla \(\displaystyle{ E(X_{n:n})}\) (tzn. znaleźć dystrybuantę dla odpowiedniego przedziału, znaleźć f. gęstości i skorzystać ze wzoru na pierwszy moment zwykły i rozumiem o co chodzi, ale jednak przy znajdywaniu \(\displaystyle{ E(X_{1:n})}\) mam problem, bo wydaje mi się, że wartość dystrybuanty w tym przedziale powinna być taka sama, lecz wg. odpowiedzi wyniki powinny się różnić.

Ok, metodą prób i błędów doszedłem, że \(\displaystyle{ F(min\{X_{1},...,X_{n}\}<x)=\frac{1}{n}(\frac{x}{\theta})^{n}}\) i wynik się zgadza z odpowiedziami, lecz nie mogę zrozumieć skąd tam się wzięło \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)

[pyzol]

Mnie też coś dziwi:
\(\displaystyle{ F_{X_{1:n}}(t)=1-(1-F_{X_1}(t))^n}\)

[Whiten]

Jeśli miało mi to w czymś pomóc to nie wyszło...

[pyzol]

Wartość oczekiwaną w tym przypadku możesz policzyć ze wzoru:
\(\displaystyle{ \mathcal{E}(X)=\int_0 ^{\infty}\left(1-F_X(t) \right)dt=\int_0 ^\infty P(X>t)dt}\)
Dodatkowo możemy policzyć:
\(\displaystyle{ P(X_{1:n}>t)=P(X_i>t, i=1,2,...,n)=P(X_1>t)=\left(1-\frac{t}{\theta}\right)^n}\)
Więc co Ci pozostaje to obliczyć całkę:
\(\displaystyle{ \int_0 ^\theta \left(1- \frac{t}{\theta}\right)^n dt}\)

[Whiten]

Nie rozumiem skąd taka pierwsza linijka i jak ona się ma do mojego problemu. Może wyjaśnię co rozumiem przez twój zapis: Wg. ciebie wartość oczekiwana to "dopełnienie" dystrybuanty. Nie przypominam sobie, bym coś w taki sposób liczył. Mnie uczono, że wzór jest raczej taki: \(\displaystyle{ EX=\int_{-\infty} ^{\infty}xf(x)dx}\), więc muszę znaleźć wartość dystrybuanty i chciałbym wiedzieć jak i czym to się powinno różnić od szukania tej wartości dla funkcji \(\displaystyle{ max}\).

[pyzol]

Masz kilka wyjść, albo znaleźć dobrą książkę do prawdopodobieństwa, albo uwierzyć mi na słowo, albno podobnych postów czytać na forum. Mi na słowo radziłbym nie wierzyć, bo założeń nie podałem

[Whiten]

A, czy jest możliwość, żeby to zrobić po mojemu, czyli tak (podam jak rozumiem robienie tego dla funkcji maksimum):

Liczymy dystrybuantę dla funkcji max. Dostajemy \(\displaystyle{ (\int_{0} ^{x}\frac{1}{\theta}dx)^{n}}\). Bierze się to z f. gęstości rozkładu jednostajnego, a podnosimy do potęgi n-tej, bo liczymy prawdopodobieństwo faktycznie n razy (bo liczymy dla wszystkich obserwacji w próbie naraz - zmienne są niezależne).

Czy można więc w podobny sposób dojść do wzoru dla funkcji min?
W mojej (dość podstawowej) książce do statystyki niestety nie ma przykładów z funkcjami min i max i nie bardzo wiem jak się za tego typu kwiatki zabierać.

Czy ta zależność, o którą pytałem (1. linijka w twoim drugim poście) jakoś się nazywa? Na tą chwilę poszukałbym czegoś na ten temat w internecie.

[pyzol]

A, czy jest możliwość, żeby to zrobić po mojemu

Możesz, tylko zajmuje to więcej czasu, dystrybuantę minimum podałem tobie w pierwszym poście.

Czy ta zależność, o którą pytałem (1. linijka w twoim drugim poście) jakoś się nazywa? Na tą chwilę poszukałbym czegoś na ten temat w internecie.

Właśnie w necie ją ciężko znaleźć. Warunkiem by zastosować ten wzór jest \(\displaystyle{ X \ge 0}\).