Zmienna losowa - rozkład normalny

[00michal]

Witam mam pewien problem z zadaniem ze statystyki.

Zmienna losowa \(\displaystyle{ x}\) ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ 36,4}\) i odchyleniu standardowym \(\displaystyle{ 15,3}\). Proszę znaleźć wartości \(\displaystyle{ x_i}\) spełniające poniższe równania:

a) \(\displaystyle{ P(X>x_1)=0,8643}\)
b) \(\displaystyle{ P(x_2<x<55,5)=0,0865}\)

Gdy mam podane wartości \(\displaystyle{ x}\) i muszę znaleźć prawdopodobieństwo, nie sprawia mi to problemu. Doszedłem mniej wiecęj do tego, mogę odczytać wartość z tablic, ale nie wiem co z tym dalej zrobić.
\(\displaystyle{ 1- \frac{x_1-36,4}{15,3} = 0,8643}\)

Z góry dzięki za jakąkolwiek pomoc! Pozdrawiam.

[Mistrz]

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \phi}\) tę dystrybuantę rozkładu normalnego standardowego, której wartości masz w tablicach. W podpunkcie a) dochodzimy do wniosku, że
\(\displaystyle{ 0.8643 = P(X > x_1) = 1 - P(X<x_1) = 1 - \phi \left(\frac{x_1 - 36.4}{15.3} \right)}\)
stąd
\(\displaystyle{ 0.1357 = \phi\left(\frac{x_1 - 36.4}{15.3} \right)}\)
teraz otwierasz tablicę i znajdujesz \(\displaystyle{ t: 0.1357 = \phi(t)}\)
na koniec z równania \(\displaystyle{ \frac{x_1 - 36.4}{15.3} = t}\) wyznaczasz \(\displaystyle{ x_1}\)

[00michal]

Tak też robiłem. Wychodzi\(\displaystyle{ x_1=19.41}\). Jednak zastanawia mnie sprawdzenie.

Z tego co pamiętam przy przechodzeniu na fi trzeba wziąć mniejszą/większą wartość zależnie od znaku.
Czyli np:

\(\displaystyle{ P(x>19.41)=P(X<18.91)=1-\phi( \frac{18.91-36.4}{15.3})}\)

a to da nam inny wynik, czyli inną wartość z tablic. Chyba że po prostu odpowiedź ma być \(\displaystyle{ x_1=19.41}\) i tyle?

[Mistrz]

Nie rozumiem. Co masz na myśli przez "wziąć mniejszą/większą wartość"?

[00michal]

W przykładach które rozwiązywałem licząc np:

\(\displaystyle{ P(x=19)}\) przechodziłem na coś takiego: \(\displaystyle{ P(18,5<x<19,5)}\) i potem na fi.

albo:

\(\displaystyle{ P(18 \le x < 27)}\) na \(\displaystyle{ P(17,5 \le x < 26,5)}\)

To chyba tzw. aproksymacja z rozkładu normalnego?

[Mistrz]

Tak. To nie w tym przypadku. Tu odpowiedzią jest po prostu \(\displaystyle{ x_1 = 19.41}\).

[00michal]

Ok, wielkie dzięki Sorry za błędy z latexem.