rozklad jednostajny wariancja max

[ros1]

Witam

\(\displaystyle{ X _{1} ...X _{n}}\) sa niezaleznymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkladzie jednostajnym \(\displaystyle{ U(0;1)}\). Wariancja zmiennej losowej \(\displaystyle{ max\left\{X _{1} ...X _{n} \right\}}\) jest rowna ??

Czy moglby ktos mnie pomoc?

Wariancja rozkl jednostajnego \(\displaystyle{ \frac{n^2-1}{12}}\)

no co z tym robic?

[miodzio1988]

Spróbuj policzyć wartość oczekiwaną tego rozkładu. Jest taka sama jest zwykłego rozkładu jednostajnego?

[ros1]

wartość oczekiwana tego rozkładu\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}= \frac{1+0}{2}= \frac{1}{2}}\)

Tedy wariancja \(\displaystyle{ (\frac{1}{2}) ^2}\)

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ max\left\{X _{1} ...X _{n} \right\}}\)

Tego wartość oczekiwana.

[wdsk90]

\(\displaystyle{ F_{max}(t)=P(max \le t)=P(X_1 \le t,...,X_n \le t)=F_{X_1}(t)^n}\)

Różniczkujesz dystrybuantę i masz gęstość.

[matti90]

\(\displaystyle{ F_{max}(t)=P(max \le t)=P(X_1 \le t,...,X_n \le t)=F_{X_1}(t)^n}\)

Różniczkujesz dystrybuantę i masz gęstość.

Raczej tak: \(\displaystyle{ F_{max}(t)=P(max \le t)=P(X_1 \le t \wedge ... \wedge X_n \le t)=(F_{X_1}(t))^n}\)

[wdsk90]

Napisałeś to samo co ja.

[matti90]

No nie wiem, jak dla mnie Twoj ostatni zapis jest mniej czytelny niż ten co ja napisalem. tak jakby do potegi n podniesione bylo t, a nie cala dystrybuanta.

[wdsk90]

Jakby \(\displaystyle{ t}\) było podnoszone do potęgi, to \(\displaystyle{ n}\) byłoby w nawiasie. Taki zapis jest jak najbardziej poprawny i jednznaczny.

[miodzio1988]

Tak jakby jest w nawiasie (wiadomo, że ten nawias nie jest do tego, ale luz). Już?

Oczywiście nad ostatnią równości należy napisać, że korzystamy z tego, że zmienne są iid

[ros1]

\(\displaystyle{ E(t)= n\int_{0}^{1} t f(t) ^{n-1}dt}\) lub nie?

[wdsk90]

Nie. Zrób tak jak było napisane wcześniej - wyznacz dystrybuantę maksimum.

[ros1]

\(\displaystyle{ F_{max}(t)=P(max \le t)=P(X_1 \le t,...,X_n \le t)=F_{X_1}(t)^n}\)

dystrybuantę

\(\displaystyle{ (F_{X_1}(t)^n)'=nf(t) ^{n-1}}\)

[wdsk90]

Nie.

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}t} F_{X_1}(t)^n=nF_{X_1}(t)^{n-1}f_{X_1}(t)}\)

Ale nie w tym rzecz. Nie rozumiesz czegoś w tym co napisałem? Dystrybuanta maksimum zmiennych niezależnych to iloczyn dystrybuant, a że wszystkie zmienne mają ten sam rozkład, więc jest to dystrybuanta \(\displaystyle{ X_1}\) do \(\displaystyle{ n}\)-tej potęgi. Różniczkujesz ją i masz gęstość.

[ros1]

to wszystko rozumiam. Nie znam co robic dalej. Czy tak?

jako gęstość \(\displaystyle{ = nF_{X_1}(t)^{n-1}f_{X_1}(t)}\)

\(\displaystyle{ E(t)= \int_{0}^{1}tf(t)dt}\)

a

\(\displaystyle{ var(t)= \int_{- \infty }^{ \infty } t^2f(t)dt-[E(t)]^2}\)

I potem

\(\displaystyle{ E(t)= n\int_{0}^{1}tF(t)^{n-1}f(t)dt}\)



----
Zedytowalem