Witam, mam takie zadanie do zrobienia:
\(\displaystyle{ X_{1},...X_{25}}\) jest próbą prostą z rozkładu \(\displaystyle{ N(1,\sigma^{2})}\) , \(\displaystyle{ \sigma^{2}}\) jest nieznanym parametrem. Znajdź najmocniejszy test hipotezy \(\displaystyle{ H_{0}:\sigma^{2} \le 3}\) przeciwko \(\displaystyle{ H_{1}:\sigma^{2}>3}\) na poziomie istotności 0,9.
No i doszedłem do pewnego momentu i nie wiem co zrobić dalej:
\(\displaystyle{ \alpha = \sup_{\sigma^{2} \le 3 } \beta (\sigma^{2})= P _{\sigma ^{2}=3 }(T(X)>b)=??}\)
Za T(X) przyjalem \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{25} (x_{i}-1)^{2}}\) dobrze?
Za K przyjalem \(\displaystyle{ (b, \infty )}\)
Co dalej??
Najmocniejszy test
-
miodzio1988
Najmocniejszy test
Ale co Ty liczysz tak naprawdę? Nie znasz jakiś twierdzeń dotyczących właśnie najmocniejszych testów? Dwa powinieneś znać
-
matti90
- Użytkownik
- Posty: 177
- Rejestracja: 12 paź 2008, o 19:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bełchatów
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 8 razy
Najmocniejszy test
Tutaj jest tylko czesc zadania jaką zrobiłem, najpierw pokazalem,ze rodzina rozkladow X1,...Xn jest rodzina z monotonicznym ilorazem wiarygodnosci,a pozniej chcialem z tego,ze ma miec rozmiar \(\displaystyle{ \alpha}\). Czy z czegos innego powininem skorzystac?
-
miodzio1988
-
matti90
- Użytkownik
- Posty: 177
- Rejestracja: 12 paź 2008, o 19:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bełchatów
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 8 razy
Najmocniejszy test
Nie rozumiem? Chyba w zadaniu powinno byc wlasnie,ze 0,9 to poziom ufnosci,ale jest napisane,ze poziom istotnosci wiec za \(\displaystyle{ \alpha}\) przyjalem 0,9
-
miodzio1988
Najmocniejszy test
Ja nie rozumiem co to jest rozmiar \(\displaystyle{ \alpha}\). Wiem co to jest rozmiar testu.
-
matti90
- Użytkownik
- Posty: 177
- Rejestracja: 12 paź 2008, o 19:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bełchatów
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 8 razy
Najmocniejszy test
Mam takie twierdzenie w wykładzie:
Niech \(\displaystyle{ \left\{{\mu _{\theta} \right\} _{\theta \in \Theta}}\) bedzie rodzina z montonicznym ilorazem wiarygodnosci. Ustalmy \(\displaystyle{ \theta _{0}\in \Theta}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha \in (0,1)}\).
i) istnieja \(\displaystyle{ c\in [0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ b \in R}\) takie, że test postaci:
(*)\(\displaystyle{ \phi = \left\{\begin{array}{l} 1, T(X _{1},...,X_{n} )>b \\c, T(X_{1},...,X_{n})=b \\ 0, T(X_{1},...X_{n})<b\end{array}}\)
jest testem rozmiaru \(\displaystyle{ \alpha}\) hipotezy \(\displaystyle{ H_{0}: \theta \le \theta_{0}}\) przeciwko hipotezie \(\displaystyle{ H_{1}: \theta \ge \theta_{0}}\)
ii)test powyzszej postaci ma niemalejaca gunkcje mocy
iii) jezeli test ma postac (*) oraz rozmiar \(\displaystyle{ \alpha}\), to jest jednostajnie najmocniejszy test hipotezy \(\displaystyle{ H_{0}:\theta \le \theta_{0}}\) przeciwko hipotezie \(\displaystyle{ H_{1}: \theta > \theta_{0}}\) na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha}\)
Probowalem z tego skorzystac.
Niech \(\displaystyle{ \left\{{\mu _{\theta} \right\} _{\theta \in \Theta}}\) bedzie rodzina z montonicznym ilorazem wiarygodnosci. Ustalmy \(\displaystyle{ \theta _{0}\in \Theta}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha \in (0,1)}\).
i) istnieja \(\displaystyle{ c\in [0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ b \in R}\) takie, że test postaci:
(*)\(\displaystyle{ \phi = \left\{\begin{array}{l} 1, T(X _{1},...,X_{n} )>b \\c, T(X_{1},...,X_{n})=b \\ 0, T(X_{1},...X_{n})<b\end{array}}\)
jest testem rozmiaru \(\displaystyle{ \alpha}\) hipotezy \(\displaystyle{ H_{0}: \theta \le \theta_{0}}\) przeciwko hipotezie \(\displaystyle{ H_{1}: \theta \ge \theta_{0}}\)
ii)test powyzszej postaci ma niemalejaca gunkcje mocy
iii) jezeli test ma postac (*) oraz rozmiar \(\displaystyle{ \alpha}\), to jest jednostajnie najmocniejszy test hipotezy \(\displaystyle{ H_{0}:\theta \le \theta_{0}}\) przeciwko hipotezie \(\displaystyle{ H_{1}: \theta > \theta_{0}}\) na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha}\)
Probowalem z tego skorzystac.
-
matti90
- Użytkownik
- Posty: 177
- Rejestracja: 12 paź 2008, o 19:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bełchatów
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 8 razy
Najmocniejszy test
Nie mam narzucone, ale w taki sposób robiliśmy podobne zadanie. Chyba, ze robilismy zle.-- 29 sierpnia 2012, 21:30 --Więc od nowa, zrobiłem tak:
1. Pokazalem, ze rodzina rozkladow X jest rodzina z monotonicznym ilorazem wiarygodnosci .
Patrzac na nasz rozklad napisalem gestosc tego rozkladu (rozkladu \(\displaystyle{ N(1,\sigma^{2})}\))
Dla \(\displaystyle{ x \in R}\) oraz \(\displaystyle{ \sigma_{1}^2 < \sigma_{2}^2}\) bliczyłem iloraz:
\(\displaystyle{ \frac{f _{x} ^{\sigma_{2}^2}(x) }{f _{x} ^{\sigma_{1}^2}(x)}}\)
Po przeksztalceniach wyszlo : \(\displaystyle{ \left( \frac{\sigma_{1}^2}{\sigma_{2}^2}\right)^{\left( \frac{25}{2}\right)} e^{ \sum_{i=1}^{25}(x_{i} -1)^{2} \frac{\sigma_{2}^2 - \sigma_{1}^2}{2\sigma_{1}^2 \sigma_{2}^2} }}\)
Za \(\displaystyle{ T(X_{1},...,X_{n})}\) podstawilem \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{25}(x_{i} -1)^{2}}\)
\(\displaystyle{ g_{\sigma_{1}^2,\sigma_{2}^2}=\left( \frac{\sigma_{1}^2}{\sigma_{2}^2}\right)^{\left( \frac{25}{2}\right)} e^{ t \frac{\sigma_{2}^2 - \sigma_{1}^2}{2\sigma_{1}^2 \sigma_{2}^2} }}\)
Wywnioskowałem z tego, że g jest rosnąca.
Dalej:
Wyznaczmy jednostajnie najmocniejszy test hipotezy \(\displaystyle{ H_{0}}\) przeciwko hipotezie \(\displaystyle{ H_{1}}\). Statystykę testową wziąłem tak jak wyżej T(X). Zbiór krytyczny\(\displaystyle{ K=(b, \infty )}\), \(\displaystyle{ b \in R}\).
Szukamy \(\displaystyle{ b \in R}\) , dla ktorego taki test ma rozmiar \(\displaystyle{ \alpha}\). Ustalmy \(\displaystyle{ b \in R}\):
\(\displaystyle{ \phi(x) = \begin{cases} 1,\sum_{i=1}^{25}(x_{i} -1)^{2}>b \\0, \sum_{i=1}^{25}(x_{i} -1)^{2}<b\end{cases}}\)
Rozmiar naszego testu to:
\(\displaystyle{ \sup_{\sigma^{2} \le \sigma _{0} ^{2} } \beta (\sigma^{2})= \beta (\sigma_{0}^{2})}\) gdyz beta jest niemalejaca.
Dla \(\displaystyle{ \sigma^{2}>0}\) mamy
\(\displaystyle{ \beta (\sigma^{2})= P _{\sigma ^{2}=3 }(T(X)>b) =(*)}\) My dalej zrobilismy cos takiego:
\(\displaystyle{ Y_{i}= \frac{X_{i} -1}{ \sqrt{3} }}\) więc
\(\displaystyle{ (*)=P _{\sigma ^{2}=3 }(\sum_{i=1}^{25}(Y_{i} \sqrt{3} )^{2}>b)=1-P _{\sigma ^{2}=3 }(\sum_{i=1}^{25}(Y_{i})^{2} \le \frac{b}{ {3} } )}\)
Aby test mial rozmiar \(\displaystyle{ \alpha}\) musi zachodzić :
\(\displaystyle{ \sup_{\sigma^{2} \le \sigma _{0} ^{2} } \beta (\sigma^{2})= \beta (\sigma_{0}^{2})= \alpha}\)
\(\displaystyle{ 0,9=1-P _{\sigma ^{2}=3 }(\sum_{i=1}^{25}(Y_{i})^{2} \le \frac{b}{ {3} } )}\)
\(\displaystyle{ P _{\sigma ^{2}=3 }(\sum_{i=1}^{25}(Y_{i})^{2} \le \frac{b}{ {3} } )=0,1}\)
Takie dostałem rozwiazanie tego zadania, ale tak jak napisalem wczesniej, nei wiem dlaczego tak jest i nie wiem co powinno byc dalej ,bo to chyba nie jest koniec.
1. Pokazalem, ze rodzina rozkladow X jest rodzina z monotonicznym ilorazem wiarygodnosci .
Patrzac na nasz rozklad napisalem gestosc tego rozkladu (rozkladu \(\displaystyle{ N(1,\sigma^{2})}\))
Dla \(\displaystyle{ x \in R}\) oraz \(\displaystyle{ \sigma_{1}^2 < \sigma_{2}^2}\) bliczyłem iloraz:
\(\displaystyle{ \frac{f _{x} ^{\sigma_{2}^2}(x) }{f _{x} ^{\sigma_{1}^2}(x)}}\)
Po przeksztalceniach wyszlo : \(\displaystyle{ \left( \frac{\sigma_{1}^2}{\sigma_{2}^2}\right)^{\left( \frac{25}{2}\right)} e^{ \sum_{i=1}^{25}(x_{i} -1)^{2} \frac{\sigma_{2}^2 - \sigma_{1}^2}{2\sigma_{1}^2 \sigma_{2}^2} }}\)
Za \(\displaystyle{ T(X_{1},...,X_{n})}\) podstawilem \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{25}(x_{i} -1)^{2}}\)
\(\displaystyle{ g_{\sigma_{1}^2,\sigma_{2}^2}=\left( \frac{\sigma_{1}^2}{\sigma_{2}^2}\right)^{\left( \frac{25}{2}\right)} e^{ t \frac{\sigma_{2}^2 - \sigma_{1}^2}{2\sigma_{1}^2 \sigma_{2}^2} }}\)
Wywnioskowałem z tego, że g jest rosnąca.
Dalej:
Wyznaczmy jednostajnie najmocniejszy test hipotezy \(\displaystyle{ H_{0}}\) przeciwko hipotezie \(\displaystyle{ H_{1}}\). Statystykę testową wziąłem tak jak wyżej T(X). Zbiór krytyczny\(\displaystyle{ K=(b, \infty )}\), \(\displaystyle{ b \in R}\).
Szukamy \(\displaystyle{ b \in R}\) , dla ktorego taki test ma rozmiar \(\displaystyle{ \alpha}\). Ustalmy \(\displaystyle{ b \in R}\):
\(\displaystyle{ \phi(x) = \begin{cases} 1,\sum_{i=1}^{25}(x_{i} -1)^{2}>b \\0, \sum_{i=1}^{25}(x_{i} -1)^{2}<b\end{cases}}\)
Rozmiar naszego testu to:
\(\displaystyle{ \sup_{\sigma^{2} \le \sigma _{0} ^{2} } \beta (\sigma^{2})= \beta (\sigma_{0}^{2})}\) gdyz beta jest niemalejaca.
Dla \(\displaystyle{ \sigma^{2}>0}\) mamy
\(\displaystyle{ \beta (\sigma^{2})= P _{\sigma ^{2}=3 }(T(X)>b) =(*)}\) My dalej zrobilismy cos takiego:
\(\displaystyle{ Y_{i}= \frac{X_{i} -1}{ \sqrt{3} }}\) więc
\(\displaystyle{ (*)=P _{\sigma ^{2}=3 }(\sum_{i=1}^{25}(Y_{i} \sqrt{3} )^{2}>b)=1-P _{\sigma ^{2}=3 }(\sum_{i=1}^{25}(Y_{i})^{2} \le \frac{b}{ {3} } )}\)
Aby test mial rozmiar \(\displaystyle{ \alpha}\) musi zachodzić :
\(\displaystyle{ \sup_{\sigma^{2} \le \sigma _{0} ^{2} } \beta (\sigma^{2})= \beta (\sigma_{0}^{2})= \alpha}\)
\(\displaystyle{ 0,9=1-P _{\sigma ^{2}=3 }(\sum_{i=1}^{25}(Y_{i})^{2} \le \frac{b}{ {3} } )}\)
\(\displaystyle{ P _{\sigma ^{2}=3 }(\sum_{i=1}^{25}(Y_{i})^{2} \le \frac{b}{ {3} } )=0,1}\)
Takie dostałem rozwiazanie tego zadania, ale tak jak napisalem wczesniej, nei wiem dlaczego tak jest i nie wiem co powinno byc dalej ,bo to chyba nie jest koniec.