Przedziały ufności

[Ezi]

Cześć, mam następujące zadanie do zrobienia:

Dokonano 5 pomiarów dna morskiego. Wyniki pomiarów: \(\displaystyle{ 20,4; 19,6; 21,0; 21,2; 19,8}\). Wiadomo, że błąd pomiaru ma rozkład normalny. Na poziomie ufności \(\displaystyle{ 1- \alpha=0,9}\) znaleźć przedział ufności dla średniej głębokości.

Zadanie robię w sposób następujący:

Z tego wzoru:

\(\displaystyle{ S= \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_{i}- x_{śr} )^{2}}{n-1} }}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_{śr}}\) oznacza średnią z próby

obliczam odchylenie standardowe z próby

w tym zadaniu wychodzi mi \(\displaystyle{ S=0,707}\)

Następnie korzystam z drugiego modelu przedziału ufności z tej tabeli ... dzialy.pdf (ponieważ nieznane jest odchylenie standardowe z populacji, natomiast znany jest rozkład) i wyznaczam liczbę \(\displaystyle{ u _{ \alpha }}\) z tabeli rozkładu t-Studenta.

... udenta.pdf

Wychodzi mi \(\displaystyle{ u _{ \alpha } = 2,132}\)

Podstawiam do wzoru z tabeli na wyznaczenie przedziału ufności

\(\displaystyle{ <x_{r}- \frac{Su_{ \alpha }}{ \sqrt{n-1} }; x_{r}+ \frac{Su_{ \alpha }}{ \sqrt{n-1} }>}\)

\(\displaystyle{ <19,65; 21,154>}\)

Natomiast w odpowiedziach jest

\(\displaystyle{ <20,19; 20,61>}\)

Gdzieś się pomyliłem, czy jest błąd w odpowiedziach? Zadanie robiłem już wielokrotnie i zawsze mi wychodził podobny wynik. Wszystkie zadania robiłem tym samym schematem, ale wynik prawie zawsze miałem błędny. Proszę bardzo o pomoc.

[szw1710]

Ponieważ próba jest mała, należy zastosować rozkład t-Studenta. Stąd Twoje błędy. Nie ten model.

[matti90]

On korzystal z rozkladu t-studenta. Tylko zapisal inaczej.

[szw1710]

Rzeczywiście... Sprawdźmy więc jak liczył odchylenie wariancję: dzieląc przez \(\displaystyle{ n}\) czy przez \(\displaystyle{ n-1.}\)

Też pisze, że dzieli przez \(\displaystyle{ n-1.}\) Może więc zwykły błąd rachunkowy i już... Albo w odpowiedziach dzielą przez \(\displaystyle{ n}\) - wtedy przedział będzie węższy, bo odchylenie mniejsze. To nawet pasuje Rachunkowo zaraz sprawdzę.

Przeliczyłem z wariancją dzieloną przez \(\displaystyle{ n}\) - wychodzi podobnie jak w odpowiedziach. Tu tylko kwestia zaokrągleń. Wychodzi mi (pakiet R) \(\displaystyle{ [19.73,21.07].}\)

[Ezi]

czyli błąd jest w odpowiedziach? Czy dla każdego modelu stosuje się inne odchylenie standardowe? Wydawało mi się, że to odchylenie standardowe z populacji jest dzielone przez \(\displaystyle{ n}\) a z próby przez \(\displaystyle{ n-1}\)?

[szw1710]

I generalnie jest jak mówisz. Populacja - przez \(\displaystyle{ n}\), próba - przez \(\displaystyle{ n-1.}\) Jednak w podręcznikach brak jednolitości. Jedni dzielą wszystko przez \(\displaystyle{ n}\), inni wszystko przez \(\displaystyle{ n-1}\). Dla dużych \(\displaystyle{ n}\) wielkich różnic nie ma. Ale panuje w literaturze bałagan. A więc lepiej porozumieć się z wykładowcą. Ja uznaję na egzaminie wszystkie odpowiedzi i dowolne sposoby liczenia.

[Ezi]

dobra dzięki wielkie za pomoc