Średnia arytmetyczna ze średniej ważonej

[ramanujan]

Zastanawiam się nad przypadkiem jakim jest jest klasa. Załóżmy, że 3 uczniów rozwiązuje ten sam test. Każde zadanie oprócz liczby punktów ma swoją wagę.

Wagi kolejnych zadań to:
3, 1, 2, 1, 2, 3, 1, co w sumie daje 13.

Obliczam wówczas średnią ważoną dla każdego z nich:
\(\displaystyle{ 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = \frac{27}{13} = 2,08}\) - pierwszy uczeń

\(\displaystyle{ 3 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = \frac{21}{13} = 1,62}\) - drugi uczeń

\(\displaystyle{ 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 1 \cdot1 = \frac{22}{13} = 1,69}\) - trzeci uczeń

Średnia ważona ze wszystkich zadań wszystkich uczniów to:

\(\displaystyle{ (27 + 21 + 22)/(13 + 13 + 13) = 70/39 = 1,794 = 1,8}\) - średnia ważona średnich

Natomiast średnia arytmetyczna ze średnich ważonych 3 uczniów to:

\(\displaystyle{ \frac{ \left( 2,08 + 1,62 + 1,69 \right) }{3} = 1,796 = 1,8}\)

Jak widać średnie te różnią się na 3 miejscu po przecinków, zastanawia mnie to kiedy te różnice zaczną być znaczące, tzn. czy jak bardzo w 30-kilku osobowej klasie z testem na kilkadziesiąt zadań średnia arytmetyczna ze średnich ważonych uczniów będzie się różnić od średniej ważonej z całości.

Jaki według was model należy zastosować do pokazywania rzeczywistej wartości prawidłowych rozwiązań dla całej klasy z wielu sprawdzianów? Dodam, że potrzebne mi to do programu, który projektuję.

[szw1710]

Obie wielkości, które policzyłeś, są identyczne, zanalizuj to sobie. Różnica w drugim przypadku bierze się ze stosowanych zaokrągleń.

Przecież w pierwszym przypadku masz

\(\displaystyle{ \frac{\frac{27}{13}+\frac{21}{13}+\frac{22}{13}}{3}}\)

czyli właśnie średnią arytmetyczną ze średnich ważonych.

Należy się też zastanowić nad doborem modelu. Co chcesz właściwie policzyć? Niestety na dogłębną analizę nie mam na razie czasu.

[ramanujan]

Chcę najlepiej oddać średnią wyników uczniów i średnią klasy, tak żeby można było je ze sobą porównywać. Jednak sprawdziany, kartkówki i inne oceny np. z odpowiedz będą mały inną wagę. Tzn. średnia wyników ucznia będzie się składać z różnych rodzajów wyników, które będą miały różną wagę np. sprawdziany raz będą dłuższe, raz krótsze w związku z czym będzie można otrzymać za nie inne liczby punktów, ponadto czasami trudność kartkówki będzie równa trudności odpowiedzi itd.

Czy w związku z tym lepiej zrezygnować ze średniej arytmetycznej i raz po raz obliczać średnie ważone na kolejnych poziomach: za zadanie, za odpowiedź/kartkówkę/sprawdzian itd. Gdzie można używać średniej arytmetycznej?

Obstaję przy arytmetycznej bo jest łatwiejsza w implementacji.