Srednia harmoniczna

[sebo783]

Witam,
Dopiero zaczynam przygode ze statystyka i prosilbym o pomoc w rozwiazaniu tego zadania:
W roku 2001 u pewnego sadownika ceny za 1kg brzoskwin wynosily:
1 gatunek -4,5zl
2 gatunek -3zl
3 gatunek - 1,5zl
Sadwonik uzyskal ze sprzedazy 10000zl za 1 gatunek, a za 2 i 3 gatunek po 6000zl. Korzystajac ze sredniej harmonicznej obliczyc srednia cene za 1kg brzoskwin


Z gory dzieki

[ares41]

Ustalasz ile było zakupionych brzoskwiń z poszczególnych gatunków i wstawiasz dane liczbowe do wzoru na średnią harmoniczną ważoną

[sebo783]

Ustalam ile bylo zakupionych brzoswkin?
Chodzi o to po ile kg bylo zakupionych z kazdego gatunku tak>?

[bb314]

średnia cena brzoskwiń

\(\displaystyle{ c=\frac{10000+6000+6000}{\frac{10000}{4,5}+\frac{6000}{3}+\frac{6000}{1,5}}=\frac{22000}{\frac{20000}{9}+\frac{18000}{9}+\frac{36000}{9}}=\frac{22000}{\frac{74000}{9}}=\frac{22000\cdot9}{74000}\ \ \color{green}\Rightarrow\color{black}}\)

\(\displaystyle{ \ \ \color{green}\Rightarrow\color{black}\ \ \color{red}c \approx 2,68}\)

[ares41]

bb314,
z Twojego rozumowania wynika, że jeśli kupimy 1 kg pierwszego gatunku i 1kg drugiego gatunku to szukana średnia wyniesie \(\displaystyle{ s= \frac{4,5+3}{ \frac{4,5}{4,5}+ \frac{3}{3} }=3,75}\) podczas gdy w rzeczywistości wynosi ona \(\displaystyle{ \frac{2}{ \frac{1}{4,5}+ \frac{1}{3} } = 3,6}\)

Wagami są ilości zakupionych brzoskwiń a nie cena jaką należy za nie zapłacić !
Powyższe rozwiązanie jest błędne.

[sebo783]

Biorac Twoje rozwiazanie na logike cena powyzej 3zl jest bledna.
Skoro pierwszego gatunku bylo 2222kg drugiego 2000kg a trzeciego az 4000kg, to cena powinna wynosic ponizej 3 zl. Nie znam sie na rozwiazaniach statystycznych tylko tak sobie to rozumuje.

\(\displaystyle{ \frac{2222}{8222} \cdot 4,5 + \frac{2000}{8222} \cdot 3 + \frac{4000}{8222} \cdot 1,5 = 1,22 + 0,73 + 0,73 = 2,68}\) w przyblizeniu,

co zgadza sie z wczesniejszym wynikiem. Wg mnie to Ty Ares41 w swoich rownaniach nie bierzesz pod uwage ilosci zakupionych brzoskwin.
Z gory dzieki za odpowiedz czy dobrze mysle

[ares41]

Proszę w takim razie zapoznać się ze wzorem na ważoną średnią harmoniczną.
\(\displaystyle{ S_{w,h}= \frac{ \sum_{i=1}^{n} \omega_i}{ \sum_{i=1}^{n} \frac{\omega_i}{a_i} }}\)

U nas wagami są ilości zakupionych brzoskwiń danego gatunku.

Wzór ten możemy interpretować tak:
\(\displaystyle{ \text{Średnia cena }=\frac{\text{ilość wszystkich zakupionych brzoskwiń }}{ \sum_{i=1}^{n} \frac{\text{ilość brzoskwiń i-tego gatunku }}{\text{cena za kg i-tego gatunku}} }}\)

Natomiast poprzednie rozwiązanie wyglądało tak :

\(\displaystyle{ \text{Średnia cena }=\frac{\text{Całkowity koszt}}{ \sum_{i=1}^{n} \frac{\text{koszt brzoskwiń i-tego gatunku }}{\text{cena za kg i-tego gatunku}} }}\)

Widać wyraźnie, że jako wag użyto tam kosztów za poszczególne gatunki.

[sebo783]

Podstawiajac dane do tego rownania z iloscia zakupionych brzoskwin wynik wyszedl 2,14. Sam juz nie wiem szczerze mowiac ktory wynik jest dobry;/-- 11 sie 2012, o 11:54 --a i w tym sprawdzeniu :
\(\displaystyle{ \frac{2222}{8222} \cdot 4,5 + \frac{2000}{8222} \cdot 3 + \frac{4000}{8222} \cdot 1,5 = 1,22 + 0,73 + 0,73 = 2,68}\)
jest podstawiona ilosc zakupionych brzoskwin i wynik zgadza sie z tym rownaniem na srednia harmoniczna w ktorej jest cena
Pomoze ktos jeszcze "swiezym spojrzeniem"?

[bb314]

U nas wagami są ilości zakupionych brzoskwiń danego gatunku.

Wg mnie, wagami są kwoty uzyskane ze sprzedaży brzoskwiń danego gatunku.

[ares41]

bb314, ale zauważ, ze Twoje podejście nie działa już gdy weźmiemy 1 kg pierwszego i 1 kg drugiego gatunku co pokazałem wyżej.

[sebo783]

Ares nie masz racji, wynik to 2,68, nawet na logike wynik MUSI byc powyzej 2,5zl

[bb314]

bb314, ale zauważ, ze Twoje podejście nie działa

Jak to nie działa. Każdy sadownik w ten sposób ustala średnią cenę uzyskaną za sprzedane brzoskwinie.

[sebo783]

Nie mozemy wziac kg pierwszego i kg drugiego, jesli juz to musimy tez wziac pod uwage kg trzeciego wtedy wynik jest miarodajny

[ares41]

bb314, ile wynosi średnia harmoniczna liczba \(\displaystyle{ 4,5}\) i \(\displaystyle{ 3}\) ?
( Bo do tego sprowadza się przypadek jednokilogramowych zakupów dwóch pierwszych gatunków ).


sebo783, jedyne co można powiedzieć o wyniku, to to że musi być niższy od \(\displaystyle{ 2,676}\). Nie ma żadnych podstaw do szacowania z dołu. Jedyne szacowanie to wykorzystanie nierówności między średnimi potęgowymi o rzędach \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\)

[bb314]

bb314, ile wynosi średnia harmoniczna liczba \(\displaystyle{ 4,5}\) i \(\displaystyle{ 3}\) ?
( Bo do tego sprowadza się przypadek jednokilogramowych zakupów dwóch pierwszych gatunków ).

Ale to jest średnia harmoniczna a nie ważona średnia harmoniczna.