Cześć,
Mam pewien dość prosty chyba problem, ale od czasu mojej ostatniej obecności na uczelni, a tym bardziej na wykładzie z matematyki, minęło trochę czasu i nie mogę sobie z nim dać rady
Mamy dwa parametry: \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) przy czym \(\displaystyle{ 0 < \alpha < 1}\) a \(\displaystyle{ \beta}\) jest wariancją zmiennej \(\displaystyle{ R}\) o rozkładzie normalnym, którego wartość oczekiwana jest równa 0. Definiujemy drugą zmienną losową, której wartość w czasie t jest równa:
\(\displaystyle{ q_{1} = r_{1} \\
q_{t} = \alpha \cdot q_{t-1} + r_{t} \quad\quad \mbox{gdzie $r_{t}$ jest realizacją zmiennej R w czasie t}}\)
Pytanie: jak policzyć wariancję zmiennej \(\displaystyle{ Q}\), której każdą kolejną realizację otrzymujemy z powyższej zależności?
Wariancja zmiennej losowej
Wariancja zmiennej losowej
Hmm, nie było dużego odzewu jak na razie - jeśli ktoś interesował by się tym problemem to może napiszę to co mi się, niekoniecznie dobrze, wydaje:
Wzór na i-ty element ciągu: \(\displaystyle{ q_i = \sum_{k=1}^{i} \alpha^{i-k} \cdot r_k}\)
W związku z tym wariancja powinna chyba wynosić:
\(\displaystyle{ \sigma_Q^2 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{i} (\alpha^{i-k} \cdot r_k)^2}\) ponieważ wartość oczekiwana jest równa \(\displaystyle{ 0}\).
Co o tym myślicie? A przede wszystkim jak to policzyć? Trzeba jakoś wykorzystać fakt, że \(\displaystyle{ R \sim \mathcal{N}(0,\beta)}\) ale jak? Na pewno zachodzi:
\(\displaystyle{ \beta = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} r_k^2}\)
Wzór na i-ty element ciągu: \(\displaystyle{ q_i = \sum_{k=1}^{i} \alpha^{i-k} \cdot r_k}\)
W związku z tym wariancja powinna chyba wynosić:
\(\displaystyle{ \sigma_Q^2 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{i} (\alpha^{i-k} \cdot r_k)^2}\) ponieważ wartość oczekiwana jest równa \(\displaystyle{ 0}\).
Co o tym myślicie? A przede wszystkim jak to policzyć? Trzeba jakoś wykorzystać fakt, że \(\displaystyle{ R \sim \mathcal{N}(0,\beta)}\) ale jak? Na pewno zachodzi:
\(\displaystyle{ \beta = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} r_k^2}\)