Witam. Mam problem z zadaniem.
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ (- \pi ; \pi )}\).Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=4\cos X}\).
No więc tak:
Gęstość \(\displaystyle{ X}\):
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2 \pi }\mbox{ gdy } x \in (- \pi ; \pi ) \\ 0\mbox{ w.p.p} \end{cases}}\)
Dystrybuanta \(\displaystyle{ X}\)
\(\displaystyle{ F_x= \begin{cases} 0\mbox{ gdy } x \in (- \infty ;- \pi ] \\ \frac{x+ \pi }{2 \pi }\mbox{ gdy } x\in (- \pi ; \pi] \\ 1\mbox{ gdy } x> \pi \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ F_y(y)=P(Y<y)=P(4\cos x<y)=P(\cos x< \frac{y}{4} )=P(x<\arccos \frac{y}{4})=Fx(\arccos \frac{y}{4})}\)
No i problem jest co z tym dalej zrobic. Z gory dziekuje
-- 28 cze 2012, o 22:23 --
Czy dobrze rozumuję ze \(\displaystyle{ F_y= \begin{cases}0\mbox{ gdy }\arccos \frac{y}{4} \in (- \infty ;- \pi ] \\ \frac{\arccos \frac{y}{4}+ \pi }{2 \pi }\mbox{ gdy } \arccos \frac{y}{4} \in (- \pi ; \pi ] \\ 1\mbox{ gdy } \arccos \frac{y}{4} \in ( \pi ;+ \infty ) \end{cases}}\)
Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny...
-
Paxior
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 14 kwie 2012, o 16:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 1 raz
Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny...
Ostatnio zmieniony 28 cze 2012, o 22:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Pamiętaj, że LaTeX nie widzi spacji. Możesz używać \mbox{ }. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Pamiętaj, że LaTeX nie widzi spacji. Możesz używać \mbox{ }. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
Mistrz
- Użytkownik
- Posty: 637
- Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 135 razy
Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny...
Ja bym to robił inaczej.
1. Wyznaczmy rozkład zmiennej \(\displaystyle{ |X|}\). Oczywiście jest to rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ (0, \pi)}\). Dystrybuanta to \(\displaystyle{ F_{|X|}(t) = egin{cases} 0 hbox{ dla } t < 0 \ frac{t}{pi} hbox{ dla } t in [0, pi) \ 1 hbox{ dla } t ge pi end{cases}}\).
2. Ponieważ \(\displaystyle{ \cos x = \cos(-x) = \cos|x|}\), więc \(\displaystyle{ Y = 4\cos X = 4\cos|X|}\)
3. \(\displaystyle{ F_Y(t) = \hbox{oczywiście } \begin{cases} 0 \hbox{ dla } t < -4 \\ 1 \hbox{ dla } t \ge 4 \end{cases}}\).
Teraz weźmy \(\displaystyle{ tin [-4, 4)}\).
\(\displaystyle{ F_Y(t) = P(Y \le t) = P(4\cos|X| \le t) = P(\cos|X| \le \frac{t}{4}) = P(|X| \ge \arccos\frac{t}{4}) = 1 - P(|X| < \arccos\frac{t}{4}) = 1 - F_{|X|}(\arccos\frac{t}{4}) = 1 - \frac{\arccos\frac{t}{4}}{\pi} = \frac{\pi - \arccos\left(\frac{t}{4}\right)}{\pi}}\).
4. Różniczkujemy \(\displaystyle{ F_Y}\) i dostajemy gęstość jej rozkładu: \(\displaystyle{ g_Y(t) = \begin{cases} 0 \hbox{ dla }|t| \ge 4 \\ \frac{1}{\pi \sqrt{16 - t^2}} \hbox{ dla } |t| < 4 \end{cases}}\).
1. Wyznaczmy rozkład zmiennej \(\displaystyle{ |X|}\). Oczywiście jest to rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ (0, \pi)}\). Dystrybuanta to \(\displaystyle{ F_{|X|}(t) = egin{cases} 0 hbox{ dla } t < 0 \ frac{t}{pi} hbox{ dla } t in [0, pi) \ 1 hbox{ dla } t ge pi end{cases}}\).
2. Ponieważ \(\displaystyle{ \cos x = \cos(-x) = \cos|x|}\), więc \(\displaystyle{ Y = 4\cos X = 4\cos|X|}\)
3. \(\displaystyle{ F_Y(t) = \hbox{oczywiście } \begin{cases} 0 \hbox{ dla } t < -4 \\ 1 \hbox{ dla } t \ge 4 \end{cases}}\).
Teraz weźmy \(\displaystyle{ tin [-4, 4)}\).
\(\displaystyle{ F_Y(t) = P(Y \le t) = P(4\cos|X| \le t) = P(\cos|X| \le \frac{t}{4}) = P(|X| \ge \arccos\frac{t}{4}) = 1 - P(|X| < \arccos\frac{t}{4}) = 1 - F_{|X|}(\arccos\frac{t}{4}) = 1 - \frac{\arccos\frac{t}{4}}{\pi} = \frac{\pi - \arccos\left(\frac{t}{4}\right)}{\pi}}\).
4. Różniczkujemy \(\displaystyle{ F_Y}\) i dostajemy gęstość jej rozkładu: \(\displaystyle{ g_Y(t) = \begin{cases} 0 \hbox{ dla }|t| \ge 4 \\ \frac{1}{\pi \sqrt{16 - t^2}} \hbox{ dla } |t| < 4 \end{cases}}\).