przedziały ufności i testowanie hipotez

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
falko1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 29 lis 2009, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 4 razy

przedziały ufności i testowanie hipotez

Post autor: falko1 »

Cześć, mam do rozwiązania następujące zadania i chciałem potwierdzić, czy dobrze to robię (bardzo dawno takich zadań nie rozwiązywałem):

1. Określ przedział ufności na poziomie 0.9 dla wartości oczekiwanej pewnej wielkości X, jeśli ocena punktowa \(\displaystyle{ \overline{x}}\) parametru \(\displaystyle{ \mu}\) wyznaczona na podstawie próby n=10 elementowej dała wartość 600, a wariancja z próby wynosi 225.

2. Dokonano n=10 niezależnych pomiarów pewnej wielkości otrzymując odchylenie standardowe z próby równe 0,241. Na poziomie istotności 10% zweryfikować hipotezę, że wariancja tych pomiarów wynosi 0,03.

3. Niech X ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej -2 oraz wariancji 0,25. Wyznacza wartość liczbową stałej c takiej, że:
a) \(\displaystyle{ P(X \ge c)=0.2}\)
b) \(\displaystyle{ P(-2-c \le X \le -2+c)=0.9}\)


Ad. 1:
\(\displaystyle{ \overline{x}=600 \\
s^{2}=225 \rightarrow s=15 \\
n=10}\)


Korzystam z rozkładu t-studenta o n-1=9 stopniach swobody dla próby n<30 i określam przedział ufności wg wzoru:
\(\displaystyle{ P(\overline{X} - t_{ \alpha ,n-1} \cdot \frac{s}{ \sqrt{n-1} } } < \mu < \overline{X} + t_{ \alpha ,n-1} \cdot \frac{s}{ \sqrt{n-1} } ) = 1 - \alpha}\)

wychodzi mi:
\(\displaystyle{ t_{ 0.1 ,\ 9}=1.383 \\
i \ przedzial: \ (600 - 1.383 \cdot \frac{15}{3} ; 600 + 1.383 \cdot \frac{15}{3})=(593.09;606.92)}\)


Ad. 2
Do testów hipotezy odnośnie wariancji stosuję rozkład \(\displaystyle{ \chi^{2}}\)
Dane z zadania:
\(\displaystyle{ n=10 \\
s=0.241 \rightarrow s^{2}=0.058 \\
\alpha = 0.1 \\}\)


testuje hipotezy:
\(\displaystyle{ H _{0}: \sigma^{2}= \sigma^{2}_{0}=0.03 \ i \ H _{1}: \sigma^{2} \neq \sigma^{2}_{0}}\)

Wartości krytyczne w zbiorze to:
\(\displaystyle{ \chi_{1}^{2}=\chi^{2}( \frac{\alpha}{2},n-1)=\chi^{2}(0.05,9) =3.33 \\
\chi_{2}^{2}=\chi^{2}(1- \frac{\alpha}{2},n-1)=\chi^{2}(0.95,9) =16,92 \\
\\}\)

Otrzymana z warunków zadania wartość \(\displaystyle{ \chi^{2}= \frac{n \cdot s^{2}}{\sigma^{2}_{0}} = \frac{10 \cdot 0.058}{0.03}=19.33}\) jest większa od \(\displaystyle{ \chi_{2}^{2}}\) a zatem hipotezę H0 należy odrzucić na rzecz hipotezy H1.

Ad.3. Z tym zadaniem mam mały problem, bo nie za bardzo wiem, jak zapisać warunek na szukaną c z ppkt a. W ppkt b widać (ze wzoru na przedział ufności dla wartości oczekiwanej ze znanym odchyleniem standardowym), że:
\(\displaystyle{ c=u _{0.1} \cdot \frac{\sigma}{ \sqrt{n}}, \ gdzie \ u _{0.1}=1.64 \ i \ \sigma=0.5}\), ale do pełnego policzenia brakuje mi wielkości próby n (pewnie się ją wyliczy z warunku a)

Może mi ktoś pomóc z tym warunkiem z ppkt a?

Z góry wielkie dzięki za sprawdzenie powyższego i pomoc na ostatnie pytanie.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

przedziały ufności i testowanie hipotez

Post autor: janusz47 »

Zad.3 a)
\(\displaystyle{ Pr\left( Z < \frac{c + 0.2}{0.5}\right) = 0,8;}\)
\(\displaystyle{ \Phi\left( \frac{c+0,2}{0.5}\right) = \Phi( 0,84);}\)
\(\displaystyle{ \frac{c +0,2}{0,5} = 0,84.}\)
\(\displaystyle{ c = 0,22.}\)
falko1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 29 lis 2009, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 4 razy

przedziały ufności i testowanie hipotez

Post autor: falko1 »

Dzięki, a możesz mi tylko napisać, skąd się wzięła wartość 0.84 i odpowiadające mu wyrażenie po lewej stronie w nawiasie?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

przedziały ufności i testowanie hipotez

Post autor: janusz47 »

Z tablic dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego
ODPOWIEDZ