Konstrukcje testów statystycznych

[rubik1990]

Mam problem z dwoma zadaniami:
Zadanie 1
Mamy próbę \(\displaystyle{ X_1,\ldots,X_n}\) iid z rozkładu normalnego \(\displaystyle{ N(0,\sigma)}\). Mam skonstruować test JNM do weryfikacji \(\displaystyle{ H:\ \sigma^2\le 4}\) kontra \(\displaystyle{ K:\ \sigma^2>4}\) na poziomie istotności 0.05. Następnie mam zbadać zgodność tego testu tzn. czy moc tego testu zbiega do jedności czy nie. Moje obliczenia wyglądają tak:
\(\displaystyle{ M_{\varphi}(\sigma^2)=P_{K}(\sum X_i^2\ge \sigma_0^2\chi^2_{0.95,n})=P_K(\frac{\sum X_i^2}{\sigma^2}\ge \frac{4}{\sigma^2}\chi^2_{0.95,n})=1-F_{\chi^2_n}(\frac{4}{\sigma^2}\chi^2_{0.95,n})}\)
I dalej nie wiem co z tym zrobić....

Zadanie 2
Mam skonstruować najmocniejszy test statystyczny na poziomie istotności 0.1 do weryfikacji hipotezy H: obserwacja pochodzi z rozkładu standardowego normalnego kontra
K: obserwacja pochodzi z rozkładu Cauchy'ego C(1)
Próbowałem znaleźć ten test przy pomocy lematu Neymana-Pearsona ale wychodzi statystyka której nie umiem znaleźć rozkładu. Inny pomysł to by test w pierwszym kroku sprawdzał czy obserwacja pochodzi z standardowego normalnego kontra nie pochodzi i w razie odrzucenia hipotezy sprawdzał czy jest Cauchy'ego. Drugi pomysł wydaje mi się naciągany i nie umiałbym go poprzeć w żaden sposób.
Liczę na pomoc z tymi zadaniami....

[silvaran]

A może lepiej skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\cdot \sqrt{n} \sim N(0,1)}\)?

Czyżby jutro egzamin ze staty na MiNI?