Wariancja i błąd sredniokwadratowy estymatora

[pucio]

Witam, mam takie zadanie:

5. Niech będzie próbką z rozkładu o gęstości \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{ \alpha }* x^{ \frac{1}{ \alpha } -1} , gdy x \in (0,1) \\ 0, gdy x nie \in (0,1) \end{cases}}\)

Wyznaczyć estymator największej wiarygodności parametru \(\displaystyle{ \alpha}\). Obliczyć wariancję i błąd średniokwadratowy.
ENW=\(\displaystyle{ \frac{-1}{n} \sum_{i=1}^{n}ln xi}\). Do wariancji potrzebuje obliczyc wartosc oczekiwana i tu natrafiam własnie na problem gdy mam -E\(\displaystyle{ ln(x)}\) to jak ma policzyc całke? Logarytm z x razy gestosc, czy x razy logarytm gestosci, czy jeszcze innaczej?

[janusz47]

Funkcja wiarygodności
\(\displaystyle{ L(x, \alpha) = \frac{1}{\alpha^{n}}x^{n\left( \frac{1}{\alpha}-1\right)};}\)
Logarytm naturalny funkcji wiargodności
\(\displaystyle{ \ln (L(x, \alpha) = \frac{n\left( \frac{1}{\alpha}-1 \right) }{\alpha^{n}}\ln(x);}\)
Pierwsza pochodna względem \(\displaystyle{ \alpha;}\)
\(\displaystyle{ \ln (L'_{|\alpha}(x, \alpha)= \frac{n(n-1)\alpha^{n-2}- n\alpha^{n-1}}{\alpha^{2n}}\ln(x) = 0}\)
\(\displaystyle{ \alpha^{*} = n-1.}\)
\(\displaystyle{ E(X) = \int_{0}^{1}xf(x)dx= \int_{0}^{1} \frac{1}{n-1}x^{ \frac{1}{n-1}}dx = \frac{1}{n};}\)
\(\displaystyle{ E(X^{2}) = \int_{0}^{1}x^{2}f(x)dx = \int_{0}^{1}x^{ \frac{1}{n-1} +1}dx = \frac{1}{2n-1};}\)
Wariancja
\(\displaystyle{ Var(X) = E(X^{2}) - (E(X))^{2};}\)
\(\displaystyle{ Var(X) = \frac{(n-1)^{2}}{n^{2}(2n-1)}.}\)
Błąd średniokwadratowy
\(\displaystyle{ BSK(\alpha) = Var(X) + (\alpha -E(X))^{2}= \frac{(n-1)^{2}}{n^{2}(2n-1)}+\left(n-1- \frac{1}{n}\right)^{2}.}\)