Zmienna losowa, prawdopodobieństwo

[rafaluk]

Na 10 małżeństw w Zambii 7 jest nosicielem wirusa HIV. Wiedząc, że szansa przekazania przez rodziców wirusa dziecku wynosi 3:4, obliczyć prawdopodobieństwo, że w małżeństwie z czwórką dzieci:

a) wszystkie dzieci będą zdrowe;
b) wszystkie dzieci będą zarażone wirusem HIV.

[miodzio1988]

problem pojawia się gdzie?

[rafaluk]

Nie wiem, jak użyć tych danych. Chciałem skorzystać ze wzoru:

\(\displaystyle{ P(X=k)={n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}}\)

ale nie wiem zbytnio jak. Za p podstawiłbym \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\). W a) n=4, k=0, w b) n=4, k=4. No ale tu coś musi być źle, skoro nie użyłem informacji o tym, że 7 na 10 małżeństw jest zarażone.

//edit:

A poza tym nie zgadza się z odpowiedzią

[miodzio1988]

no wlasnie. gdzie w tym wzorze masz informacje o rodzicach? Nie masz. Wiec?

[rafaluk]

no wlasnie. gdzie w tym wzorze masz informacje o rodzicach? Nie masz. Wiec?

Więc potrzebuję innego wzoru, ew. coś innego podstawić za p. Jakaś podpowiedź...?

[__Cichy__]

Na początku zastosuj wzór na prawdopodobieństwo całkowite. A później prawdopodobieństwa warunkowe oblicz tak jak wcześniej robiłeś.

[rafaluk]

Ee... teraz to już nic nie wiem. Proszę o wypisanie chociaż początku.

//edit:

Póki co dowiedziałem się, że źle liczę. Nice. To już 95% sukcesu.

[__Cichy__]

Niech \(\displaystyle{ A_{1}}\) - zdarzenie, że małżeństwo z HIV, \(\displaystyle{ A_{2}}\)- zdarzenie, że małżeństwo zdrowe.
\(\displaystyle{ B}\)- zdarzenie, że wszystkie dzieci będą zdrowe.

I teraz ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:

\(\displaystyle{ P(B) = P(B|A_{1}) \cdot P(A_{1}) + P(B|A_{2}) \cdot P(A_{2}).}\)

Wiadomo, że \(\displaystyle{ P(A_{1})=0,7}\) oraz \(\displaystyle{ P(A_{2})=0,3}\).

Ponadto, \(\displaystyle{ P(B|A_{2})=1}\).

\(\displaystyle{ P(B|A_{1})}\) liczysz ze schematu Bernouliego (przyjmując za prawdopodobieństwo sukcesu \(\displaystyle{ p= \frac{1}{4}}\)).