Wątpliwości: gęstość z dystrybuanty, kwantyle

FilipOdw · Post autor: **FilipOdw** » 27 maja 2012, o 20:52

Hej,
system eliminacji studentów jest aktywowany . Stąd mam kilka pytań natury statystycznej. Zdaję sobie sprawę, że są to podstawowe problemy, aczkolwiek nie mogę znaleźć jasnej odpowiedzi (a wzory książkowe jakoś do mnie nie przemawiają).

Pytanie 1: jak wyliczyć gęstość funkcji mając dystrybuantę? Próbowałem zwyczajnie liczyć pochodne z poszczególnych wartości dystrybuanty, jednak tak otrzymana gęstość nie równała się 1. Pytanie dotyczy zmiennej losowej ciągłej.

Pytanie 2: jak obliczyć medianę oraz kwartyle?

Z góry dziękuję za Waszą pomoc i poświęcony czas.
Pozdrawiam
Filip

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 27 maja 2012, o 20:58

Gęstość to pochodna dystrybuanty. Mediana jest tą wartością zmiennej losowej (ograniczam się tu do ciągłej), dla której dystrybuanta przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0.5.}\) Kwantyl rzędu \(\displaystyle{ p\in(0,1)}\) to taka wartość zmiennej losowej, dla której dystrybuanta przyjmuje wartość \(\displaystyle{ p.}\) Mediana jest więc kwantylem rzędu \(\displaystyle{ 0.5.}\)

FilipOdw · Post autor: **FilipOdw** » 27 maja 2012, o 21:04

Dziękuję za bardzo szybką odpowiedź !

Co do gęstości i dystrybuanty. Rozumiem, że gęstość do pochodna dystrybuanty, jednak to chyba nie oznacza, że dla ostatniego przedziału dystrybuanty (=1) gęstość = 0?

Czy istnieje wzór, wg. którego łatwo można wyliczyć kwantyle dowolnego rzędu?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 27 maja 2012, o 21:25

Do kwantyli musisz mieć dystrybuantę. Niech \(\displaystyle{ F}\) będzie dystrybuantą zmiennej losowej ciągłej \(\displaystyle{ X.}\) Wtedy \(\displaystyle{ k_p}\) jest kwantylem rzędu \(\displaystyle{ p}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ F(k_p)=p.}\) Ogólnego wzoru nie znajdziesz.

Dystrybuanta zmierza w plus nieskończoności do jedynki. Jeśli np. mamy rozkład jednostajny, to gęstość poza określonym przedziałem jest zerowa, gdyż dystrybuanta jest stała: zero na lewo, jeden na prawo. Mówisz o zmiennych ciągłych, a piszesz o "przedziałach dystrybuanty", co jest cechą zmiennych skokowych. Mylisz nieco pojęcia. W każdym razie mając np. rozkład normalny, gęstość nigdy nie będzie zerowa.

FilipOdw · Post autor: **FilipOdw** » 27 maja 2012, o 21:35

Faktycznie wszystko mi się miesza. Czy mógłbym w takim razie prosić o wyliczenie gęstości z poniższej dystrybuanty:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 dla x \le -1\\x^3+1 dla -1<x \le 1\\1 dla x>1\end{cases}}\)

leapi · Post autor: **leapi** » 27 maja 2012, o 21:37

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0 dla x\notin (-1,1)\\ (x^3+1)^{'}=3x^2 dla x \in\left\langle -1,1\right\rangle \end{cases}}\)

FilipOdw · Post autor: **FilipOdw** » 27 maja 2012, o 21:42

No to się zgadza, tak właśnie policzyłem. Ale czy suma całek z gęstości prawdopodobieństwa w odpowiednich przedziałach nie powinna być równa 1?

Jeszcze jedno nurtujące pytania. Dystrybuanta ma zawsze przedziały prawostronnie domknięte tak? A skąd wnioskować o domykaniu przedziałów gęstości?

leapi · Post autor: **leapi** » 27 maja 2012, o 21:46

tak całka \(\displaystyle{ \int_R f(x)=1}\), może źle przepisałeś?-- 27 maja 2012, o 21:47 --Jeżeli \(\displaystyle{ F(x)}\) jest ciągłą (a raczej powinna), to nie ważne jak rozłożysz domknięcie

FilipOdw · Post autor: **FilipOdw** » 27 maja 2012, o 21:51

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}3x^2 = 2}\) ?? Czy ja źle liczę? Stąd moje wątpliwości...

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 27 maja 2012, o 21:57

FilipOdw pisze: Jeszcze jedno nurtujące pytania. Dystrybuanta ma zawsze przedziały prawostronnie domknięte tak? A skąd wnioskować o domykaniu przedziałów gęstości?

Zobacz mój wykład w Kompendium: 291171.htm

FilipOdw · Post autor: **FilipOdw** » 27 maja 2012, o 22:10

A co z tą całką? Całka z gęstości nie jest równa 1. Co to oznacza?

leapi · Post autor: **leapi** » 27 maja 2012, o 22:24

według mnie to \(\displaystyle{ F(x)}\) nie może być dystrybuantą.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 27 maja 2012, o 22:24

A co z tą całką? Całka z gęstości nie jest równa 1. Co to oznacza?

Że to nie jest funkcja gęstości.

FilipOdw · Post autor: **FilipOdw** » 27 maja 2012, o 22:26

Hmm. To w takim razie podam całe zadanie.

Dla jakiego parametru a funkcja:

F(X)= \(\displaystyle{ \begin{cases} 0 dla x \le 1\\ x^3 + a dla -1<x \le 1\\1 dla x>1 \end{cases}}\)

jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X. Obliczyć f(x) oraz a.

leapi · Post autor: **leapi** » 29 maja 2012, o 09:26

ponieważ \(\displaystyle{ f(x)=F^'(x)=3x^2}\) dla \(\displaystyle{ x\in\left\langle -1,1\right\rangle}\) to nie istnieje wartośc parametru a dla x którego \(\displaystyle{ F}\) jest dystrybuantą